Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 13. Движение материальной точки единичной массы в центральном поле может быть описано гамильтоновой системой в R8=R3(X) X R3 {у} со стандартной симплектической структурой и функцией Гамильтона Н(у, x) = \y\2/2+U(\x\). Зафиксируем постоянный вектор кинетического момента xXy=\i (ц=/=0). Можно считать, что ц=се3, где ^3= (О, О, 1), с>0. Множество уровня Afc задается уравнениями Хз=Уз=0, Х\у2— x2yi=c. Ясно, что вектор ц инвариантен относительно группы поворотов 50(2) вокруг оси с единичным вектором ?>3. Для того, чтобы провести факторизацию по этой группе, введем в плоскости R2=(XttX2) полярные координаты г, <р и со-
15-1 107 пряженные им канонические переменные рт, р9:
Ar1 = TCOStf, JZ1 = PrCOStP-^rSln Ф,
AT2 = T БІПф, U2 = Pr sin Ф + у- COS ф.
Очевидно, что в новых переменных множество Mc задается уравнениями х3=у3=0, p<t=c. Факторизация по группе S0(2) сводится к исключению угловой переменной ф. Таким образом, приведенное фазовое пространство Mc=MJSO (2) диффеоморф-но R+{r}xR{pr}; оно снабжено приведенной симплектической структурой (a2=dpT/\dr. Приведенный гамильтониан имеет вид Н=(ргг + с*г-*)/2+и(г). Д
Если элемент с?&* находится в общем положении (ранг матрицы ||а„|| максимален"), то группа Gc коммутативна; понижение порядка, проведенное по этой схеме, дает тот же результат, что и понижение по Картану (Е. Cartan). Если с=0, то ранг матрицы ||аи|| падает до нуля и интегральное многообразие Af0 устроено наиболее «симметрично»: стационарная подгруппа Go совпадает со всей группой G. В этом случае происходит максимально возможное понижение порядка гамильтоновой системы на 2ft = 2dim G единиц (ср. с теоремой 13).
Пусть (N, <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Tk), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T*N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассонов-ское действие на T*N\ поскольку это действие свободное, то любое значение момента сЫЗ* является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Mc (коразмерности k = dimG в М) и приведенное пространство состояний Me (размерность которого на 2к меньше размерности М). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении сЬЗ* мы имеем «полунатуральную» приведенную лагранжеву систему (Af, <, >, Vc, Qe) (см. п. 1.1, теорема 13). Приведенным лагранжианом L: TN-+-R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x) =<*, x)/2+Vc(x).
Тео-рема 18. При всех cG&* существует диффеоморфизм f:Mc-*-T*N такой, что
'> В случае пуассоновской алгебры интегралов может быть следует лучше говорить о ранге билинейной формы {Fx, Fу}, X, YqS
16-2 1) /*(o2=Q-f-Qc, где Q-стандартная симплектическая структура на T*N,
2) функция foH:T*N-*-R является преобразованием Лежандра приведенного лагранжиана, задаваемым метрикой < , > .
Следствие. Многообразие M0 симплектически диффео-морфно T*N.
Если группа G некоммутативна, то приведенное фазовое пространство Me в общем случае не совпадает с кокасательным расслоением никакого гладкого многообразия.
Пусть коммутативная группа G свободно и пуассоновскн действует на симплектическом многообразии (Af, or). В этом случае переход к приведенному многообразию (Mct о?) можно осуществить еще следующим способом. Рассмотрим фактор-многообразие N=MJG и на нем скобку '{ , }, которая является исходной скобкой Пуассона { , }, опущенной на N. Легко понять, что скобка '{ , } вырождена. Если P :М-*$* — отображение момента, то существует гладкое отображение P : N-+3* такое, что диаграмма
M--N р
коммутативна. Поскольку G действует свободно, то точка одновременно является (не) критическим значением отображений PwP. Считая точку с?&* некритической, рассмотрим гладкое многообразие Ne = P'1 (с) и ограничим скобку '{ , } на Ne.
Предложение 3. Ограничение скобки '{ , } на Ne задает симплектическую структуру 'о2, причем многообразия (Afe, <о2) и (Nc, 'со2) симплектически диффеоморфиы.
Это замечание можно обобщить на случай некоммутативной группы G, только факторизацию M по всей группе G надо заменить факторизацией по ее центру.
Пример 14. В задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой M=TSO(3) =SO(3) XR3. Если тело вращается в осесимметричном силовом поле, то имеется однопараметри-ческая группа симметрий G=SO (2). Фактор многообразие M/SO(2) диффеоморфно S2XR3. Уравнения движения на этом пятимерном многообразии записываются в виде уравнений Эйлера—Пуассона
k + <*Xk = V'Xe, е + <*Хе*=0 (|*| = 1),
где = А (о—кинетический момент, VrS2-»¦/?—силовая функция (см. § 2 гл. 1). Скобка '{,} в S2XR3 задается следующими
16-2 фоомулами:
(O)1, W2H -??.....(O)1, *,} = (), (O)lt ---ji,
Уравнения Эйлера—Пуассона имеют интеграл е>=с, порожденный группой симметрий SO (2). Зафиксируем его постоянную и рассмотрим четырехмерный интегральный уровень Ne= {а, е:<Ло), е) = с, <е, е> = 1}, диффеоморфный (ко)каса-тельному расслоению сферы Пуассона S2={e?R3: <е, е> = 1}\ Положим <а = '(й + сеКАе, е); вектор является горизонтальным касательным вектором в канонической связности главного расслоения (S0(3), S2, SO (2)), порожденной инвариантной римановой метрикой <Л(о, а>>/2. Проекция SO(3)-*-S2 позволяет отождествить горизонтальные векторы '(о с касательными векторами к сфере Пуассона. Пусть <~, > — факторметрика на S2:
