Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Укажем основные моменты доказательства теоремы 20. Согласно принципу наименьшего действия, траектории на M с полной энергией Л являются геодезическими линиями римановой метрики Мопертюи ds. Зафиксируем точку х?М и рассмотрим касательные векторы VbTxMt удовлетворяющие равенству H(v, л-) =A. Вектор V назовем критическим, если значение первого интеграла f :Mh-*-R в точке (v, де) является критическим. Покажем сначала, что различных критических скоростей бесконечно много. Если это не так, то окружность Sx= {иPrxM : H(v, л)=А} разбивается на конечное число интервалов Л,, та-
25-1
265 ких, что все V^Ai — некритические. По теореме 3 гл. главы 5 каждому вектору соответствует единственный тор Tv2, на котором лежит движение z(t) с начальными данными z(0)=x, z(0)=v. Объединение ZJi=U Tv2 диффеоморфно, очевидно,
V^l
AiXT2. Пусть я : ТМ-*-М — естественная проекция; положим X, = n(Dt). Утверждается, что группы гомологий Hl(Xi)CZ. Hi(M) накрывают «почти всю» группу Hi(M), за исключением, быть может, элементов из Hi(M), принадлежащих некоторому конечному множеству одномерных подгрупп. Это можно вывести из одной теоремы Е. В. Гайдукова (1966): для любого нетривиального класса свободно гомотопных путей на M существует геодезическая полутраектория y(t), выходящая из точки х и асимптотически приближающаяся к некоторой замкнутой геодезической из данного гомотопического класса. Если скорость y(0) не является критической, то y(t) замкнута. Исключительные одномерные подгруппы в Hi(M), о которых говорилось выше, порождаются как раз замкнутыми геодезическими, на которые «наматываются» не совпадающие с ними асимптотические полутраектории. Поскольку непрерывное отображение Di-I-Xi порождает гомоморфизм групп гомологий Hi(Di)-*--*¦Hl(Xi) и H\(Di)~Z2, то группа Hi(M) накрыта конечным числом групп, ранг которых не превосходит двух. Известно, что если х— род М, то Hi(M)^iZ2x. Так как х>1, то получаем противоречие.
Итак, различных критических скоростей бесконечно много. Поскольку всякая аналитическая функция на компактном аналитическом многообразии имеет лишь конечное число критических значений, то интеграл f(v, х) постоянен на окружностях Sx. Следовательно, / есть функция на М. Так как M связно и и компактно, то любые две его точки можно соединить кратчайшей геодезической и поэтому /=COnst.
Замечание. Для всех известных многомерных вполне интегрируемых натуральных механических систем с компактным аналитическим многообразием положений M выполняется неравенство rang/Zi (Af) ^dimM.
6.2. Геометрические препятствия к интегрируемости. Пусть А'— замкнутое подмногообразие с краем на аналитической поверхности (уже необязательно компактной). Через Nh обозначим множество всех точек на Mh, которые при отображении я: ТМ-*М переходят в точки из N. Будем говорить, что N геодезически выпукло, если кратчайшая геодезическая метрики Мопертюи на М, соединяющая близкие точки границы dN, целиком лежит в N.
Теорема 21. Если на аналитической поверхности M существует компактная геодезически выпуклая подобласть N с отрицательной эйлеровой характеристикой, то приведенная система на М/, не имеет аналитического первого интеграла. Более
266 того, аналитический интеграл отсутствует даже в окрестности множества Nlt.
Доказательство теоремы 21 следует схеме рассуждений, указанной в п.6.1. Незначительное отличие состоит в том, что вместо группы гомологий Hi(M) используются свободно гомотопические классы замкнутых путей на М.
Теорема 21 удачно применена С. В. Болотиным для доказательства неинтегрируемости задачи о движении точки в гравитационном поле п неподвижных центров при п>2 (см. І55І). Напомним, что значениям п=1 и п = 2 соответствуют интегрируемые случаи Кеплера и Эйлера.
Глава 7 ТЕОРИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯ
Изучение колебаний системы в окрестности положения равновесия или периодического движения обычно начинается с ее линеаризации. Линеаризованная система интегрируется. Основные свойства колебаний в исходной системе после этого часто могут быть выяснены с помощью теории нормальных форм Пуанкаре—Биркгофа. Эта теория — аналог теории возмущений (гл. 5 § 2). Линеаризованная система играет роль невозмущенной по отношению к исходной. В настоящей главе описаны основные элементы этого подхода.
Центральная задача теории малых колебаний — исследование устойчивости рассматриваемого положения равновесия или периодического движения. Теории устойчивости посвящена большая литература (см. обзор [11] и В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1984, 1). Ниже кратко рассмотрены только некоторые результаты этой теории, позволяющие судить об устойчивости на основании изучения нормальных форм. Описаны также результаты, связанные с проблемой обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия в потенциальном поле.
§ 1. Линеаризация
Рассмотрим натуральную лагранжеву систему
тШМт=0, L-T-VM T = (AmZq),2. (1)
Положения равновесия системы (1)—критические точки потенциальной энергии U. Чтобы линеаризовать систему (1) около равновесия q = 0. достаточно заменить кинетическую
