Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Z= IdH = IA (t)z.
(31)
260 Нас будет интересовать задача о наличии у уравнения (31) голоморфных интегралов F:C2nxX-*-C. Так как любой интеграл Ffz, t) постоянен на решениях уравнений (34), то прн каждом fo^-K функция F(z,t0) инвариантна относительно действия группы монодромии G. Это свойство налагает жесткие ограничения на вид первых интегралов: если группа G достаточно «богата», то инвариантными функциями (интегралами) являются лишь константы.
Поскольку система (31) гамильтонова, то преобразования группы монодромии являются симплектическими. Задача об интегралах групп симплектических преобразований изучена С. Л. Зиглиным в работе [73]. Мы кратко изложим его результаты.
Согласно предложению 1, собственные значения Xj, ..., Xon симплектического преобразования g-.C^-^C2" разбиваются на пары X1 = XJT-H, .. - . K = ^in- Назовем преобразование ggG нерезонансным, если из равенства ХГ'... X™" = 1 с целыми тх, ... ..., тп следует, что все Zn1=O. При Ii= 1 это условие означает, что X не является корнем из 1. Пусть Г—матрица нерезонансного симплектического отображения g. Так как ни одно из собственных зчачений матрицы T не равно 1, то уравнение Tz = z имеет тривиальное решение 2=0.
Удобно перейти к симплекттескому базису отображения g: если z = (x,y), х=(хи ...,хп), У=(Уі, ...,«/„)—координаты в этом базисе, то g:(x, t/)-* (Xje,'X_1t/). Симплектйческий базис существует, если все X1=^l (1 <s<«) (это утверждение доказано, например, в книге [37]).
Пусть F (г)=2 Fs (2) — интеграл отображения g. Тогда все
днородные формы Fs тоже будут интегралами. Пусть Fs(x> У)*= 2 fbix"yl• Tor^a' очевидно,
k+1-s
^fklXky1 = 2Х*-'/*,.ку,
Если g нерезонансно, то s четно и /ы=0 при кфі.
Теорема 19 [73]. Пусть g?G нерезонансно. Если гамильтонова система имеет п независимых голоморфных интегралов F : C2nXX-^-C, то любое преобразование g'GG имееттуже неподвижную точку, что и g, и переводит собственные направления g в собственные направления. Если при этом никакие собственных значений преобразования g' не образуют на комплексной плоскости правильного многоугольника с центром в нуле, то g' коммутирует с g.
Последнее условие заведомо выполняется, если g' тоже нерезонансно.
Мы сейчас докажем теорему 18 для простого, но важного
261 для приложений случая, когда п=1. Пусть собственное значение отображения g не является корнем из единицы и пусть (дс, у) =Z—симплектический базис для g. Собственные направления g — две прямые х=0 и у=0. Выше было показано, что любой однородный интеграл g имеет вид с(ху)*, SbN. Пусть g' — другое отображение из группы G. Поскольку функция (ху)' инвариантна относительно действия g\ то множество ху=0 остается неподвижным при отображении g'. Так как g' — невырожденное линейное отображение, то точка х=у=0 неподвижна и отображение g' либо сохраняет собственные направления отображения g, либо переставляет их. В первом случае g', очевидно, коммутирует с g, а во втором случае оно имеет вид
х»ау, у~$х. Гак как отображение g' симплектическое, его матрица
HlM
удовлетворяет условию
SmIS = I,
откуда a?= —1. Но в этом случае собственные значения матрицы S равны ±i. Точки ±i образуют как раз тот исключительный правильный многоугольник, о котором идет речь в заключении теоремы. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим случай, когда элементы матрицы A (t) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени /еС, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что A (t) — мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факторизацией по решетке периодов. Рассмотрим два симплектических отображения g и g' за периоды матрицы А (*). Предположим, что их собственные значения удовлетворяют условиям теоремы 18. Тогда для того чтобы уравнение (31) имело п независимых аналитических интегралов, необходимо, чтобы g и g' коммутировали. Следовательно, обходу особой точки (элементу #?'?-'#'"'?0) будет отвечать тождественное отображение пространства C2n.
Пусть нелинейная гамильтонова система
Z = IdH, гЄС2п, (32)
имеет частное решение z0(t), однозначное на его римановой поверхности X. Положим u = z — zb(t). Тогда уравнение (32) можно переписать в следующем виде:
и =/Я" (г0 (<))«+...• (33)
262 Линейное неавтономное уравнение
й = 1 Н" (t) и
будет уравнением в вариациях для решения z0{t). Оно разумеется, будет гамильтоновым с функцией Гамильтона
\ <и, Н"(t)u) .
Интегралу H (z) автономной системы (32) соответствует линейный интеграл уравнений в вариациях:
< //'(*о(0). « > •
С его помощью можно, например, понизить число степеней свободы системы (33) на единицу.
Предположим, что нелинейное уравнение (32) имеет несколько независимых голоморфных интегралов Fs (г) (1 sglssglm). Тогда уравнение (33) также будет иметь первые интегралы. Ими будут однородные формы разложений функций Fs в ряды по степеням и:
W(26(0). ">+..• .
Эти формы — голоморфные функции в прямом произведении C2nXX. Справедлива
Лемма 7. Если уравнение (32) имеет т независимых интегралов, то уравнение в вариациях (33) имеет т независимых полиномиальных интегралов ([73]).
