Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
H = bq+ap2/2+bq3, а = ± 1. (13)
Предположим, что Q=I1 Ь>0. Бифуркация фазового портрета при переходе от отрицательных б к положительным показана на рис. 77. Два равновесия сливаются и исчезают.
Приведенные диаграммы исчерпывают все связанные с резонансами бифуркации, которые происходят в однопараметричес-ких семействах гамильтонианов общего положения с двумя степенями свободы и могут быть вычислены по нормальной форме.
Эти диаграммы полезны и при большем числе степеней свободы. Действительно, пусть в системе с п степенями свободы приближенно выполнено единственное резонансное соотношение между двумя частотами. Тогда ее нормальная форма имеет п—2 интеграла р( = const и приводится к системе с двумя степенями свободы. В результате получается одна из рассмотренных нормальных форм, коэффициенты которой зависят от параметров р*< 1.
Исследование кратных резонансов в системах со многими степенями свободы только начинается. В [134] исследован случай с отношением частот 1:2:1, найдены его периодические решения и дополнительные интегралы, возникающие при особых значениях параметров. В [135] показано, что для резонанса 1:2:2 нормальная форма третьего порядка имеет дополнительную симметрию и соответствующая система вполне интегрируема. В [152] показано, что для резонанса 1:1:2 нормальная форма третьего порядка порождает неинтегрируемую систему2'.
3.3. Устойчивость равновесий гамильтоновых систем с двумя
11 При двух степенях свободы порядок понижается до единицы с помощью интеграла, соответствующего ненулевой собственной частоте.
:> В этих работах предполагается, что кратной собственной частоте соответствуют в матрице линеаризованной системы четыре жфдаиовы клетки первого порядка, а ие две клетки второго порядка, т. е. дополнительное вырождение: для реализации такого случая з системе o6:uw;ro положения нужно 4 параметра.
280степенями свободы при резонансах. Изучение нормальной формы дает значительную информацию о движении исходной системы, младшие члены гамильтониана которой приводятся к этой форме. Например, если у нормальной формы есть невырожденное периодическое решение, то близкое периодическое решение есть у исходной системы. Это следует из теоремы о неявной функции. Большая часть инвариантных торов, имеющихся у нормальной формы, в общем случае есть и у исходной системы. Это следует из результатов теории KAM (надо использовать теорему 14 из гл. 5, § 3). Как всегда в системах с двумя степенями свободы из наличия инвариантных торов следуют выводы об устойчивости.
Если между собственными частотами системы с двумя степенями свободы отсутствуют резонансные соотношения до 4-го порядка включительно, то равновесие устойчиво (при дополнительном условии изоэнергетической невырожденности); этот результат уже обсуждался в гл. 5, п. 3.5 Б. Для оставшегося конечного числа резонансных случаев справедлив следующий результат.
Теорема 8. ([77], [94], [117—119], [132]). Если собственные частоты удовлетворяют резонансному соотношению порядка ^4 и выполнены условия общности положения п. 3.2, то равновесие исходной системы устойчиво или неустойчиво одновременно с равновесием нормальной формы.
<] Устойчивость доказывается с помощью теории KAM, а неустойчивость — сравнением скорости ухода от равновесия для исходной системы и нормальной формы, либо построением функции Четаева. t>
В обозначениях п. 3.2 имеем следующие результаты.
Следствие 1 ([94]). При резонансе (2,1) равновесие неустойчиво, если Вф0 (рис. 69).
Следствие 2 ([94]J. При резонансе (3,1) равновесие устойчиво, если |А]>ЗУЗ|В|>0 (рис. 71) и неустойчиво, если 0<L4|<3V3|?| (рис.70).
Следствие 3 ([77], [117], [119]). При кратной ненулевой частоте у линеаризованной системы, имеющей пару жордано-вых клеток порядка 2, равновесие полной системы устойчиво, если aD>0 (рис. 75), и неустойчиво, если aD<0 (рис. 76).
Следствие 4 ([118], [132]). При нулевой собственной частоте у линеаризованной системы, имеющей жорданову клетку порядка 2, равновесие полной системы неустойчиво, если ЬфО (рис. 77).
Когда некоторые из сформулированных условий общности положения нарушаются, устойчивость проанализирована в [941 [Н7], [118], [132]. 1 J
Имеющиеся на фазовых портретах нормальной формы сепаратрисы при переходе к точной системе оказываются, вообще говоря, расщепленными, как описано в гл. 5, п. 3.3. Б.§ 4. Нормальные формы гамнльтоновых систем около замкнутых траекторий
4.1. Сведение к равновесию системы с периодическими коэффициентами. Пусть гамильтонова система с л + 1 степенями свободы имеет замкнутую траекторию, отличную от равновесия. Такие траектории не лежат изолированно, а образуют, как правило, однопараметрические семейства. Приведем задачу о колебаниях в окрестности этого семейства к удобному виду.
Предложение 1. В окрестности замкнутой траектории можно выбрать новые симплектические координаты <p mod 2л, J и ztR2" так, что на рассматриваемой траектории будет / = О, z = 0, а обход по ней изменяет <р на 2л; на самой траектории ф= const. В новых координатах функция Гамильтона принимает вид #=/(/)+<90 (z, ф, /), f/ф0, разложение Ж по z, I начинается с членов второго порядка малости.