Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Обратно, если Д g индуцируют один и тот же проективный морфизм ф, то векторы f(x), g(x) должны быть оба нулевыми или коллинеарными; отсюда вытекает существование функции р: ?\Ker f-> К\ удовлетворяющей условию g(x)= p(x)f(x).
Если х, у — элементы Еу такие, что пара (f(x)> f(y)) свободна, то соотношение
Р (х + у) (/ (х) + f (у)) = g(x +у) = g(x) +g (у) =
= p(x)f(x) + p(y)f(y)
влечет р (х + у) = р (х) = р (у).
Однако если ф не постоянно, то /(?) имеет размерность ^2; поэтому если х, у — такие элементы Е, что f(x), f(y) ненулевые, но пропорциональные, то существует z^E, такой, что пары (f(x),f(z)) и (f(y)> f(z)) свободны. Тогда p(x) = p{y) = p{z) и функция р постоянна на ?\Kerf; обозначив эту постоянную через k, получим g(x) = kf(x) для всех ie? (поскольку Kerg = Ker/), откуда и вытекает наш результат. ?
Замечание. Если /, g линейны, то соотношение g — kf требует, чтобы k принадлежал центру К (предложение II. 4.6).
3. ПРОЕКТИВНЫЕ МОРФИЭМЫ. гомографии 129
Следствие. Пусть Е, Т7— два векторных пространства над одним и тем же телом /С. Для .того чтобы полулинейное отображение /: Е-+Е ранга ^2 индуцировало проективный морфизм, необходимо и достаточно, чтобы / было ассоциировано с внутренним автоморфизмом тела /С.
В самом деле, для линейности необходимо и достаточно, чтобы I было ассоциировано с внутренним автоморфизмом
Свойства
Предложение 3.2. Пусть <р — проективный (соот^ полупроективный) морфизм Р (Е) в Р(/7) и Дф — его область определения. Если Ь — проективное подпространство в Р(Е), то ограничение <р на ?П является проективным (соотв. полупроективным) морфизмом, образ которого — некоторое проективное подпространство в Р(/7).
В частности, образ <р есть проективное подпространство в Р (Е).
Действительно, при введенных обозначениях ограничение ф на есть морфизм, индуцированный
ограничением / на векторное пространство V = = р-1 (В)1){0}у а его образ есть проективное подпространство в Р (Т7), индуцированное /(Е).
Если ф определено на всем Р(Я), то, кроме того, полный образ проективного подпространства из Р (Е) будет проективным подпространством в Р(?).
Случай инъективных морфизмов
Предложение 3.3. Полупроективный морфизм ф, индуцированный полулинейным инъективным отображением /: Е-^/7, сам является инъективным; для биективности ф необходимо и достаточна биектив-ность /.
Доказательство. Пусть у\ = р(х\) и У2 = р(х2)— две точки в Р (Я), такие, что <р(у\) = ф(?/2). В обозначениях, введенных в начале параграфа, получим
g о / (*,) = ф (у,) = ф (у2) = gof (Х2),
5 Ж& Лелон-Феррац
130
ГД. IV., ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
откуда следует, коллинеарность 1(х\) и /(х2); если / инъективно, то сами х\, х2 коллинеарны и р(х\) — = р(х2). Таким образом, ср инъективно. Второе утверждение следует из того, ЧТО ф (Р (Е)) есть проективное подпространство в Р(/7), индуцированное 1т/.
Гомографии
[>> Определение 3.2. Отображение ф: Р (Е) —> Р (В) называется голографией (английский термин рго]ес1л-\т11у), если существует линейное биективное отображение /: ЕЕ, такое, что ц)op = qofi Где р: ?*—>~
Р (Е) и р: Р^->Р(Р) — канонические проекции.
3) Гомологии. Пусть Я — гиперплоскость в Е, а — элемент из ?\Я и к — ненулевой скаляр. Отображение /: ?->?, 1(х + 'ка) = х + кка для любых х еЯ и /\ линейно и биективно. Томография ф пространства р (Е), индуцированная /, имеет в качестве неподвижных точек точку А = р (а) и все точки проективной гиперплоскости Р(Я). С другой стороны для каждого вектора у^Е его образ ?(у) принадлежит векторной плоскости, порожденной а и у. Отсюда следует, что для произвольной точки Ме Р(?) три точки Л, М и АТ = ф (М) принадлежат одной проективной прямой.
По определению, такая гомография ф будет называться гомологией с центром А и гиперплоскостью р (Я). Она инволютивна при к = 1 (в этом случае она сводится к тождественному преобразованию) и при к = — 1 (в этом случае / есть симметрия относительно гиперплоскости Я с направляющей векторной прямой Ка). В последнем случае ф называют гармонической гомологией; эта терминология оправдана предложением 6.7 ниже.
^ Заметим, что задание множества неподвижных точек1) и образа Р' одной из не принадлежащих ему точек Р позволяет построить образ М' произвольной
]) Если гомология не тождественная, то, как уже отмечено выше, ее неподвижными точками будут центр и точки плоскости гомологии. — Прим. перев.
3. ГТРбЁКТИбНЫЕ МОРФИЗМЫ. ГОМбГРАФИИ
точки М по следующим правилам, вытекающим из свойств ф (см. рис. 1):
1) точки Л, М, М' лежат на одной прямой; п) прямые (МР) и (М'Р') пересекают Р (Я) в одной и той же точке /.
4) Элации. Пусть к — ненулевая линейная форма на ? и а — такой вектор, что к (а) — 0. Тогда отображение /: ?->?, х х + к (х) а есть автоморфизм ?, называемый трансвекцией (см. упр. II. 14),
обратным к которому является отображение yi~~> *—>у — h(y)a. Индуцированный таким f морфизм ф пространства Р (Е) имеет в качестве неподвижных точек все точки проективной гиперплоскости P(Kerf); более того, для любой точки Mg Р(Е) точки А =* = р(а)у М и М' = ф(М) лежат на одной прямой (так как f(x) принадлежит векторной плоскости, порожденной а их).
