Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
]) Отметим, что всякая трансляция (соотв. гомотетия) Ж продолжается до элации (соотв. гомологии) Р^) (см, улр, IV. 7).
4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 135
Заметим, что если ё имеет конечную размерность я, то размерность ё равна п+ 1, так что проективное пополнение пространства ё имеет ту же размерность, что и ё (этим оправданы соглашения, принятые В § 1).
В частности, если ё— аффинная прямая, размерность ее направляющего пространства Е равна 1, з Р (Е) сводится к одной точке, называемой бесконечно удаленной точкой прямой ё и обозначаемой просто оо. Проективное пополнение аффинной прямой ё обозначается просто ё[] {оо}.
Как следствие предложения 4.1 получаем
Предложение 4.2. Если ё, ё'— два аффинных пространства над одним и тем же телом К, то всякая аффинная биекция I: ё -> ёг продолжается до гомографии ё = ё II Р (Е) на ёг = ё и Р (?')> причем продолжение / на Р (?) есть гомография Р (?) на Р (?'), индуцированная линейной частью
Теорема о проектированиях
Теперь мы в состоянии точнее установить характер центрального проектирования, определенного в § 1.
Определение 4.2. Пусть П — проективное пространство, 5 — его точка, 3% 3' —- две проективные гиперплоскости в П, не проходящие через 5. Биекция 3 на 3' у которая каждой точке МеЗ’ ставит в соответствие точку пересечения прямой (5Л1) с 3\ называется перспективой (или перспективным отображением) 3 на 3' из центра 5.
Эта биекция есть не что иное, как ограничение на 3 проектирования из центра 5 пространства П на 39 (см. § 3, пример 1). Так как это проектирование ф является проективным морфизмом, его ограничение на 3 также есть проективный морфизм (см. предложение 3.2) и, в силу биективности, гомография 3 на 3Имеет место следующая
Теорема 4.3. Если 3, Зг — Две проективные гиперплоскости проективного пространства П, то любая перспектива 3 на 3' есть гомография.
136 л 'гл. IV. ЭЛЕМЁИТЫ ПРФёК'ТИЁНОЙ геометрии
Замечание. Если П конечномерно, то можно доказать, что каждая гомография <р гиперплоскости «2*, на гиперплоскость 3' пространства П есть произведение конечного числа перспектив ерь ..., срп:
<р: ... ?ХЗ?'
(см. [А1?], § 10 гл. II и упр. IV. 16).
Вернемся теперь к построению § 1: если Ж, Ж — две аффинные гиперплоскости аффинного пространства 0, то множества 2?***Ж и Ж^, 9?' = Ж и введенные в § 1, отождествляются с проективными гиперплоскостями пополнения В — & и <^оо пространства <?Г, а биекция 3? на продолжающая проектирование с центром О, есть не что иное, как перспективное отображение 3 на &* с центром О: естественное продолжение центрального проектирования одной гиперплоскости на другую есть, стало быть, го-жографця.
От проективного назад к аффинному
Будем исходить теперь из проективного пространства Р (Е)у и пусть Я— векторная гиперплоскость в #. Если Ж— собственно аффинная гиперплоскость в Е, параллельная Я, то каноническая проекция позволяет отождествить Ж с Р(?)\Р(Я). Таким образом, Р(?)\Р(Я) допускает аффинную структуру, проективным пополнением которой является Р (?), а множеством бесконечно удаленных точек Р(Я).
Эта аффинная структура априори зависит от вы-бора аффинной гиперплоскости Ж, параллельной Я« Но если мы заменим Ж параллельной гиперплоскостью Ж' и обозначим через /, /' ограничения на <9^, Ж' канонической проекции р: ?’*->Р(?'), то найдется такой элемент к е /С*, что I {х) (кх) или у = где Л* — ограничение на <9{? векторной гомо-
тетии с коэффициентом & (см. рис. 3).
Если К коммутативно, то аффинно, так что аффинные структуры, определяемые на Р(?)\Р(Я) отождествлением с Ж\ или Ж'% совпадают.
4. ПРОЕКТИВНОЕ ПОПОЛНЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА 137
Если К не коммутативно, то Л* — полуаффинное отображение, ассоциированное с внутренним автоморфизмом (см. § II. 4); таким образом,
если мы обозначим через Ж (соотв. Ж') аффинное пространство, полученное отождествлением Р(?)\Р(Я) с Ж (соотв Ж'), то тождественное отображение Ж на Ж' будет лишь полуаффинным. Другими словами, различные аффинные структуры, получаемые изменением Ж, будут лишь «полуизоморф-ными». Но это не является практической помехой; мы просто сформулируем следующее утверждение:
^ Теорема 4.4. Если Р (?)?—? проективное пространство и Р (Я)—проективная гиперплоскость в нем, то множество Р(?)\Р(Я) допускает по меньшей мере одну структуру аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством Я, проективное пополнение которого есть Р(?).
? Будем говорить, что такая аффинная структура получена исключением проективной гиперплоскости Р(Я), или, более образно, отправкой Р (Я) в беско-нечность ([ВЕ], ч. 1).
Этот результат имеет большое практическое значение, так как позволяет упрощать некоторые задачи проективной или аффинной геометрии (см. § 7, 10,
Отметим, что если Д — проективная прямая в Р(?), то ее пересечение с Р(?)\Р(Я) есть аффинная прямая, которую мы назовем ограничением (или сужением) Д. Для того чтобы ограничения двух про-
Рис. 3
11, 12).
138 ГЛ. IV. ЭЛЕМЕНТЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
активных прямых Дь Л2 были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы Дь Д2 пересекались в точке на Р(Я).
