Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
/е/
и достаточно, чтобы 2 Аг = 1 ("соотв. 2 Яг = 0У
* е / \ 1е/ /
Доказательство. Это вытекает из соотношения
1*(ЕМ/) = 2Х ?
? Правило. Отождествление & с подмножеством в Р ~ & позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации 2] ХЬА{ элементов <%. Но такая комбинация представляет элемент из Ж только тогда, когда XI К = I (этот элемент будет барицентром системы (Лг, А,г-)); если же = то
X ХЬА{ представляет элемент из Еу равный ? ^-ЛЛ* для любой точки /1е^.
Приложения. 1) Для того чтобы три точки А, В, С из & были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры X, р, V, такие, что
X -{- р -{- V = 0 и ХА -{- рВ -(- уС = 0. (1)
Соотношения (1) на самом деле равносильны од-
у -—у
ному соотношению ХСА + рСВ = 0; они интересны своей симметричной формой относительно Л, В, С и возможностью складывать подобные соотношения.
2) Если X Хь Ф 0, то барицентром системы
г е /
(Ль Х1)1(в1 является точка пересечения с Р{ векторной
прямой с направляющей ? ЯгЛг- в /\
3) Для того чтобы семейство (Л,)? е/ точек из & было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство
ПО ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
(Л^е/ было свободным ( соотв. семейством образующих) в векторном пространстве Р.
? В частности, аффинный репер & является базисом Р, содержащимся в Рь
Векторная интерпретация аффинных отображений
Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений.
Предложение 7.2. Пусть Р, Рг — два векторных пространства над одним и тем же телом К и /71 (соотв. /д) — аффинная гиперплоскость в Р (соотв. р'), не проходящая через начало; обозначим Р0 (соотв. Ро) векторную гиперплоскость, параллельную Р1 (соотв. Р1).
a) Если ср.* Р Р' — линейное отображение, такое, что ср (Р1) с:/7!, то ограничение ср на Рх есть аффинное отображение Р1 в Р1, линейная часть которого есть ограничение ср на Е0.
b) Обратно, если /: Р\ ->р1 — аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение ср: Р-*-Р', ограничение которого на Р1 совпадает с /.
Доказательство. а) Если ср: Р->Р' линейно и ф(Р1)с:
с= Рь то для любых точек Л, В из р! имеем ф(В) —
• —> - >
— ф(Л) = ф(ЛВ) и ЛВ е Р0. Ограничение ф на Рх аффинно с линейной частью ф0: Р0->Ро, >ц(и).
Ь) Обратно, пусть /: Р1->р! — аффинное отображение. Фиксируем точку А в р! и обозначим через Р) (соотв. /У) векторную прямую в Р (соотв. Р'), порожденную А (соотв. /(Л)) (рис. 4). Тогда Р = Р0®?>, р =Ро©?> и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:
о ф(Л) = /(Л),
11) ограничение ф на Р0 равно линейной части /.
Но существует единственное линейное отображение ф из Р в р', удовлетворяющее этим условиям (ф определено своими ограничениями на дополнительные
7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ПОГРУЖЕНИИ Щ
ВПП и I) пространства Т7); тогда ограничение <р на Т7! есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и /, и принимающее в точке А то же значение, что и /, а тем самым равное /, откуда вытекает доказываемый результат. ?
? Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отобраоюениями Л в Л и линейными отображениями Т7 в Т7', удовлетворяющими условию
С другой стороны, если /7' = /7 и /71 = /71, это соответствие сохраняет композицию отображений (компо-
зиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции). Наконец, если <р — автоморфизм Т7 и Т7! — аффинная гиперплоскость в /% то включение ф (Т7!) с: Л влечет равенство ф(/70 =/7ь В самом деле, ф(Л) есть аффинная гиперплоскость в Т7, и достаточно применить следствие теоремы II. 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в /\
Таким образом, мы можем сформулировать
Предложение 7.3. Пусть Т7 — векторное пространство, Л — аффинная гиперплоскость в Т7, не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций Т7! на стабилизатор в 6Ь(/7) (подгруппу в ОЬ(/7), состоящую из автоморфизмов ф, для которых ф(/70 =/71).
? Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда Т7, Рг — векторные продолжения аффинных про-
112 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
странств , а /ч, /м — образы <§' при канонических погружениях /: <§ -> /7, У7': всякое
аффинное отображение & в <§' отождествляется с линейным отображением ф пространства Р в Р\ удовлетворяющим требованию ф (/ч) с! /ч, и группа аффинных биекций & отождествляется с подгруппой в йЬ (/7), сохраняющей аффинную гиперплоскость Рх.
Случай конечной размерности
Если аффинное пространство & имеет конечную размерность п, то в ^ = 1 можно выбрать базис (еи • еп+1) так, что *=Р0 при 1 и е/1+1е/71.
Тогда (ел+1; ел) есть декартов репер в Рх — <§
с началом еп+х (рис. 4).
В этом случае является множеством точек х=
п+1
— Е пространства таких, что х — еп+1^Р0= 1
= Уес^, ..еп); следовательно, это аффинная гиперплоскость с уравнением *„+1 = 1 в базисе (едх<1<п+1.
Эндоморфизмы ф пространства У7, удовлетворяющие условию ф (/Ч с Т7,, — это те эндоморфизмы, матрица которых в базисе (ег) имеет вид
