Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
—> —>
такая, что ф (АМ) — АМ = / (А) А, откуда следует второе утверждение. ?
102 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
? Важное замечание. Если /: & -> & —- произвольное отображение и ?: -> —- биекция, то I (? о / о ?-1) =
= §(/(/))•
Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.
Аффинные и полуаффинные группы
Если /: (§ 1 —>- Ж2 и — два аффинных (со-
отв. полуаффинных) отображения, то также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Я(й °/) = Я(?) оЯ(^). Отсюда выводится
Теорема 5.6. Пусть Ж — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е. Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции <§ на <$ образуют группу, которую мы обозначаем 6Л(^Г) (соотв. вБА (<!?)). Отображение Е (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на СЬ(Я) и
ОЗА(^Г) на группу С5Ь(Я) полулинейных биекций Е на Е.
Наконец, для любой точки Р в <§Г ограничение Ь на группу изотропии точки Р в ОА(^) (соотв. С5А(<?Г)) является изоморфизмом этой группы на СЬ(Я) (соотв. СБЬ(Я)).
Последнее утверждение получим, выбирая Р в качестве начала в <8.
Следствие. Если Н — подгруппа в СЬ(Я) (соотв. в С5Ь(Я)), то Ь~1(Н) есть подгруппа в (хА(?Г) (соотв. в С5А(^Г)); при этом если Я— инвариантная подгруппа, то такова же и Я-*1 (Я).
? В частности, если Н = Ые, то Я-1 (Я) есть инвариантная подгруппа в СА(<§Г), образованная трансляциями.
Если Я={±Ы?}, то Я“1 (Я) есть инвариантная подгруппа в СА(^Г), образованная трансляциями и центральными симметриями.
Если Я — инвариантная подгруппа группы ОБЬ (Я), образованная векторными гомотетиями (см. § II. 4), то Я-1 (Я) есть инвариантная подгруппа в йБА^), называемая группой дилатаций.
5. АФФИННЫЕ И ПОЛУАФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЮЗ
Пусть f — дилатация, не сводящаяся к трансляции;
тогда ?(/)—векторная гомотетия вида иь—>ки, где
? ф 1. В этом случае / имеет единственную неподвиж-
—>
ную точку /, определяемую из условия (& — 1) Л/ = >
= /(Л)Л,где Л — произвольная точка Таким образом, I выражается какМь—>/+ к1М.Такое отображение называется гомотетией с центром I и коэффициентом к.
Сформулируем
? Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии <§ составляют инвариантную подгруппу группы 05А(<?Г), называемую группой дилатаций &. Мы обозначаем ее ОП(<Г).
По поводу чисто геометрической характеризации этой группы см. упр. III. 8.
Если основное тело К коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы
ОА(^).
Проектирования
Назовем проектированием & любое аффинное отображение р пространства <? в себя, удовлетворяющее условию р о р = р.
Для такого отображения любая точка ЛЕр(^) является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства ё а. Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:
104 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 5.8. Отображение р\ 8 -> 8 является проектированием, если существует ВПП W пространства Е и ЛАМ Т в 8 с направляющим подпространством V, дополнительным к W, такие, что для любой точки М ^8 ее образ р(М) есть точка пересечения Т с ЛАМ, проходящим через М с направлением W (рис. 2).
Аффинные симметрии
? Теорема 5.9. Пусть 8— аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Е над телом К характеристики Ф 2 1).
? Для того чтобы аффинное отображение /: 8->8 было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией Е.
Такое отображение называется аффинной симметрией.
Доказательство. Если /o/ = Idg и А ^ 8, то образом середины отрезка [А, /(А)] будет середина отрезка [/(А), f°f(A)] = [/(А), А]; таким образом, эта точка инвариантна при отображении f и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю. ?
Предложение 5.10. Отображением: 8-> 8 является аффинной симметрией, если существуют ВПП W пространства 8 и ЛАМ Та 8 с направлением, дополнительным к W, такие, что для любой точки М^8 (см. рис. 2)
i) Ms(M) е= W;
ii) середина [М, s(M)] принадлежит Т.
Если Т сводится к одной точке А, то W = Е и s есть центральная симметрия с центром А.
Теорема Фалеса
Пусть по-прежнему W есть ВПП в ? и Tu Тч— два аффинных пространства в 8, направляющие кото-
*) Это утверждение теряет силу, если К — тело характеристики 2 (см. упр. III. б).
6. КАНОНИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА Ю5
рых соответственно Уи V2 дополнительны к №. Обозначим через р\ (соотв. р2) ограничение проектирования Ж на Т2 (соотв. Т\) параллельно №. Тогда, как легко видеть, р2 является аффинной биекцией Т\ на Т2, обратная к которой есть р\. Образ М2 = р2(М\) точки М\ е Т\ определяется условиями М2^Т2 и
МгМ2 е № (см. рис. 3).
? В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное
указанным способом соответствие между Т\ и Т2 является аффинным.
В частности, если W — векторная гиперплоскость, то справедлива
^ Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки1).
