Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если и* єе Q/, то SS1Vi = 0, так что 3&i-1 (SSVi) = O, т. е. SSvi<=Qj-\. Допустим, что SSv it .... SSvk связаны зависимостью
CiSSv1 + ... + ckSSvh <= Q/_2.
Это значит, что ^/_2 (C1^u1 + ... + ckSSvk) = 0, так что SS'-1 (C1Vx + ... + CkVu) = 0, т. е.
CiUi+ ... +адє(Зн.
Следовательно, С\ = ... = Ck = 0, в силу линейной независимости векторов vi, ..., Vk относительно Qj-i. Это и требовалось доказать.
Построим теперь базис S следующим образом. Пусть у1Ь ... viki — базис Qm относительно Qm-i. Тогда, в силу предложения 10, векторы SSv и, SSvIk1 принадлежат Qm-i и линейно независимы относительно Qm-2- Дополним эту совокупность векторов до базиса Qm-i относительно Qm-2- Пусть D21, v2k,— дополняющая совокупность векторов. Тогда ^2U11,.. .,^2vikl, SSv2U • • -• SSv2U1 принадлежат Qm-2 и линейно независимы относительно Qm-г- Дополним их совокупность до базиса Qm_2 относительно Qm-з- Продолжив этот процесс до построения базиса Q1, получим следующую совокупность векторов:
338
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
Qm
°I1
Qm-I
v21
V2k> ¦
Qm-2
SSv2x
Q2
aSm~2 vn
... ^-\ki
<Sm~3v2l ..
Q.
... $m-lvlki
?m-2v2i
(Слева мы выписали названия подпространств, для которых каждая строка векторов образует базис относительно подпространства с меньшим на 1 индексом.)
Выписанная совокупность векторов составляет базис пространства Qm = S. Действительно, векторы в нижней строке образуют базис Qi- Векторы второй строки снизу образуют базис Q2 относительно Qi, так что они вместе с векторами нижней строки составляют базис Q2. После присоединения векторов третьей снизу строки получится базис Qz и т. д.
Разобьем теперь построенный базис на «башни», рассматривая вместе векторы ии, SSv\\, $m-lV\\ и т. д., расположенные в приведенной схеме на одной вертикали. Общий вид «башни»: V, &v, Sak-Xv при некотором к, причем $!kv = 0. Подпространство, натянутое на векторы башни, является циклическим, порожденным вектором, находящимся наверху башни. Все пространство S = Qm есть прямая сумма этих циклических подпространств. Тем самым мы вновь доказали теорему 10 из предыдущего параграфа для нилыютентного оператора.
Построенный базис называется каноническим для пространства с нильпотентным оператором. Хотя в его выборе имеется некоторый произвол, число башен каждой высоты вполне определяется размерностями подпространств Qi, Q2, Qm-
На циклическом пространстве с базисом v, SSv, $k~xv (при g$bv = о) матрица оператора $ имеет вид
0
0 .
0
1
0 ..
0
0
1 ..
0
0
0 ..
. 1 0
Такая матрица называется нильпотентным жордановым блоком. Во всем пространстве матрица нильпотентного оператора по отношению к каноническому базису квазидиагональна с жордановыми .блоками вдоль диагонали. Число блоков равно числу нижних этажей башен, т. е. числу линейно независимых собственных векто-
S bj ОПЕРАТОРЫ ? ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД О 339
...
°т-1.1 ..
"ml
ров. Заметим, что результаты этого пункта сохраняют силу для векторных пространств над любым полем, а не только над полем С. комплексных чисел.
4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. Пространство S, в котором действует оператор st, однозначно разлагается в прямую сумму корневых подпространств. Взяв в пространстве базис, составленный посредством объединения базисов корневых подпространств, мы придем к квазидиагоналыгой матрице для оператора st, диагональные блоки которой суть матрицы оператора s4- на корневых подпространствах.
Рассмотрим корневое подпространство, соответствующее собственному значению Я. Оператор (st— %&)т, где т — кратность А как корня минимального полинома, аннулирует все векторы рассматриваемого подпространства, т. е. оператор 38 = st— \<8 нильпотентен на этом подпространстве.
В каноническом базисе для оператора этот оператор имеет квазидиагональную матрицу с нильпотентными жордановыми блоками вдоль диагонали. В том же базисе оператор st = $ + KS будет иметь матрицу, отличающуюся от матрицы оператора <М тем, что к нулям на главной диагонали прибавится Я, ибо единичному оператору S соответствует единичная матрица. Таким образом, матрица оператора на рассматриваемом корневом подпространстве есть квазидиагональная матрица, составленная из жордановых блоков
/ко ... о 0 \ Il % ... 0 0 I
\ 0 о ... 1 X J
с числом Я на главной диагонали. Число блоков с данным Я равно числу линейно независимых собственных векторов для собственного значения Я, ибо каждый собственный вектор оператора 9& есть собственный вектор для оператора st, соответствующий собственному значению Я.
Если во всех корневых подпространствах выбрать канонические базисы, то в их объединении оператор будет иметь квазидиаго-
340
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
нальную форму, диагональными блоками которой являются канонические блоки Жордана, отвечающие всем собственным значениям, т. е. каноническую форму Жордана общего вида. Тем самым мы вновь пришли к результату, полученному в конце предыдущего параграфа из более общих соображений.
