Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 6. Любое собственное значение оператора является корнем его минимального полинома.
Доказательство. Пусть и — собственный вектор оператора st, принадлежащий собственному значению А. Тогда минимальным аннулятором вектора и является линейный двучлен t — А. Минимальный полином оператора аннулирует все векторы, так что делится на все минимальные аннуляторы, в частности, на t—А. Следовательно, А есть корень минимального полинома, что и требовалось доказать.
Из предложения 6 следует, что характеристический полином оператора и его минимальный полином разлагаются на одинаковые линейные множители, различны могут быть лишь их кратности.
2. Корневые векторы. Вектор и называется корневым для оператора st, если при некотором А выполняется равенство (st — AJf)"1« = 0, т. е. если вектор и аннулируется полиномом (t — А)т. Наименьший показатель m называется высотой корневого вектора. Собственный вектор — это корневой вектор высоты 1. Число А, участвующее в определении корневого вектора, является собственным значением. Действительно, для корневого вектора и высоты m будет v = (st —-Ш)т~1иФ0, но (St-XS)V = Q, т. е. V есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению А.
Высота корневого вектора, соответствующего собственному значению А, не превосходит кратности А как корня минимального полинома оператора. Эта верхняя грань достигается, т. е. существует корневой вектор, высота которого равна кратности соответствующего собственного значения как корня минимального поли-
336
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XII
нома. Действительно, пусть минимальный полином оператора sS равен (t — k)mF(t), где F(A)=^O. Полином (t — X) m~l F (t) аннулирует не все векторы, так что найдется вектор v, не аннулируемый этим полиномом. Тогда вектор u = F(st)v не аннулируется полиномом (t — Х)т~\ но аннулируется полиномом (t — а)т, т. е. является корневым вектором высоты т.
Предложение 7. Линейная комбинация корневых векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению а, является корневым вектором, соответствующим тому же собственному значению.
Доказательство. Пусть W1 и иг — два корневых вектора, соответствующих собственному значению а, и пусть тх и т2— их высоты, mi ^ m2. Тогда полином (/ — X)mi аннулирует оба вектора, а также любую их линейную комбинацию.
Таким образом, корневые векторы, соответствующие данному собственному значению, образуют подпространство, называемое корневым подпространством.
Предложение 8. Корневые векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
Доказательство. Пусть Ui, ик—корневые векторы для оператора зФ, соответствующие собственным значениям Ai, ... ..., а*, а,- ф а/, и пусть Шь ..., тк — их высоты. Допустим, что
CiWi + . . . + CiUi + ... + ckuk = 0. Рассмотрим полином
U (0 = (г - а,Г ... (/ - K1T^ ... (/ - кк)тк
Применим оператор fi(st) к обеим частям линейной зависимости. Этот оператор аннулирует все корневые векторы, кроме W1-, ибо полином fi(t) делится на аннуляторы этих векторов. Но он не аннулирует Ui, ибо fi(t) не делится на минимальный аннулятор этого вектора. Получим Cifi(s6)ui = 0, откуда с,-= 0, ибо Іі(я?)иіФ Ф 0. Это верно для всех i=l, ..., к.
Теорема 9. Векторное пространство S над С, в котором действует оператор зФ, разлагается в прямую сумму корневых подпространств. 1
Доказательство. То, что сумма корневых подпространств есть прямая сумма, следует из линейной независимости векторов из различных корневых подпространств. То, что эта сумма заполняет все пространство S, следует из предложения 8 предыдущего
параграфа, ибо полиномы (/ — Ai)™1, (t — Aft)mft> произведением
которых является минимальный полином, попарно взаимно просты. Теорема доказана.
Теорема 9 есть, конечно, частный случай теоремы 9 предыдущего параграфа.
ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НАД С
337
3. Нильпотентный оператор. Оператор SS называется нильпо-тентным, если некоторая его степень есть нулевой оператор. Наименьший показатель степени, обладающей этим свойством, называется показателем нильпотентности. Таким образом, если m есть показатель нильпотентности оператора SS, то 3%m = 0, но SSm~K фО. Ясно, что минимальный полином для нильпотентного оператора показателя т есть tm. Нильпотентный оператор имеет единственное собственное значение 0. Все векторы пространства являются корневыми. Высоты их не превосходят показателя нильпотентности, и существуют векторы, высота которых равна показателю нильпотентности.
Для дальнейшего удобно считать, что нулевой вектор имеет высоту, равную нулю.
Введем в рассмотрение цепочку вложенных друг в друга инвариантных подпространств:
{0} = Q0 с= Q, с= ... CQjC ... c=Qm = S,
где подпространство Qj, /= 1, т, состоит из векторов, высоты которых не превосходят j. По построению, Qj = ker SS1-
Предложение 10. Пусть j ^ 2. Если векторы D1, ..., vk принадлежат Qj и линейно независимы относительно Q/-i, то векторы SSv\, ..., SSvk принадлежат Qj-i и линейно независимы относительно Q/-2.
