Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
і
2
14. V [у (ж)] = J ІУ2 + (У')2 - 2ху) dx; у (0) = 0; у (2) = 3.
ГЛАВА 9
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
§ 1. Связи вида <р(я, yv у2, уп) = 0
Вариационными задачами на условный экстремум называются задачи, в которых требуется найти экстремум функционала v, причем на функции, от которых зависит функционал v, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал
v[l>i> У2.....Уп]=1}F(x> Уи У2.....У«- УЇ- У'2.....К)а*
X,
при наличии условий
Фг (х, У і, У2.....Уп) — 0 0=1,2.....т; т < п).
Вспомним, как решается аналогичная задача при исследовании на экстремум функции z=/(xv х2, .... хп), при наличии связей
(P1(X1, X2.....Xn) = О (I = 1, 2, ..., т; т < п.).
Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы
Vi(X1, X2.....Xn) = 0 (1=1, 2, .... т),
уравнения которой мы будем считать независимыми, - относительно каких-нибудь т переменных, например относительно X1, X2.....хт:
X1 = X1(X1n+1, хт+2, хп); X2 = х2(хт+1, хт+2.....хп);
хт — хт(хт+1, хт+2, xn),
и подстановки найденных x1, х2, .... хт в /(x1, х2, Xn).
При этом функция /(X1, X2.....Xn) становится функцией Ф(хт+1,
хт+г, .... Xn) только п~т переменных x01+1, x7n+2, .... X1,
376
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
которые уже независимы, и следовательно, задача свелась к исследованию функции Ф на безусловный экстремум. Этим путем можно, конечно, решать и поставленную выше вариационную задачу. Разрешая систему ф,(х, у,, у2.....у„) = 0 (1=1, 2.....т) относительно yv у2.....ут (или каких-нибудь других т функций У;)
и подставляя их выражения в v [уи у2, ..., уп], мы получим функционал W{ym+1, ут+2.....у„]. зависящий только от п — т уже
независимых аргументов, и, следовательно, к функционалу W применимы методы, изложенные в § 3 главы 6. Однако как для функций, так ' и для функционалов обычно более удобен другой метод решения, называемый методом неопределенных множителей, сохраняющий полное равноправие переменных. Как известно, этот метод
при исследовании на экстремум функции .Z=Z(X1, X2.....Xn) при
наличии связей Ф,-(Х[, х2, хл) = 0 (I =\, 2, т) заключается в том, что составляется новая вспомогательная функция
где X1 — некоторые постоянные множители, и функция z* исследуется уже на безусловный экстремум, т. ei составляется система урав-
ф'; =0.(/=1, 2..... т), из которой определяются все п-4-т
неизвестных X1, х2, .... Xn и X1, X2, Хт. Совершенно аналогично может быть решена задача на условный экстремум и для функционалов, а именно: если
пг
нений
dz* dxj
0 (/=1, 2.....п), дополненная уравнениями связей
V =
Уп- y'v y'v
2У'п)ах
и
<Pl(x. У и у2>
у„) = 0 (/=1.2,...,
пг),
то составляют функционал
или
где
т
Г = F + S X1(X)^1,
S 1] СВЯЗИ ВИДА <f(x, ys)-0 377
который уже исследуется на безусловный экстремум, т. е. решают систему уравнений Эйлера
F* —~F*,=0 (/=1, 2.....п), '
у, dx у, w '
(9-1)
дополненную уравнениями связей v
ф, = 0 (і = 1, 2.....т).
Число уравнений т-\-п, вообще говоря, достаточно для определения т-\-п неизвестных функций yv у2, . .., уп и ^1, X2.....Хт, а граничные условия у j (X0) = у J0 и у j (X1) = уд (/=1, 2.....я),
которые не должны противоречить уравнениям связей, вообще говоря, дадут возможность определить 2п произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Очевидно, что найденные этим путем кривые, на которых достигается минимум или максимум функционала V*, будут решениями и исходной вариационной задачи. Действительно, при. найденных из системы (9.1) функциях
X1(X) O-=I1 2.....от) и уу (J=I, 2.....п) все ф, = 0
и, следовательно, v*=v, причем если при уу = уу(х) (J=I, 2..... п),
определенных из системы (9.1), достигается безусловный экстремум функционала V*, т. е. экстремум по отношению ко всём близким кривым, как удовлетворяющим уравнениям связи, так и не удовлетворяющим им, то, в частности, экстремум достигается и по отношению к более узкому классу кривых, удовлетворяющих уравнениям связей.
Однако из этого рассуждения отнюдь не следует, что все решения исходной задачи на условный экстремум будут давать безусловный экстремум функционалу v* и, следовательно, остается невыясненным, все ли решения могут быть найдены этим методом. Мы ограничимся доказательством более слабого утверждения.
Теорема. Функции уг, у2.....уп, реализующие экстремум
функционала
х,
V = f F(x, yv у2.....уп, у[, у'2.....y'n)dx
при наличии условий
<Pi(x, yv у2.....У„) = 0 (/=1, 2.....от; от<»)
і
удовлетворяют при соответствующем выборе множителей X1(X) (1 = 1, 2, .... от) уравнениям Эйлера, составленным для
25 Л. Э. Эльсгольц
378 вариационные задачи на условный экстремум [гл. 9
/' ? (Fyjbyj + Fy. Ьу)ух = 0.
Интегрируя по частям вторые слагаемые в каждой скобке и принимая во внимание, что
(6уу)'=оуу и (byj)x=x=0; (Ьуі)х=х=0.
