Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
#зо = —2, а2д = 0, O28 = —2, O27 = 0, ... a is = 0, O14 = —2.
Значит, O1S-O14 = 2.
Ответ: 2.
С одной стороны, пример 14 проще примера 13, так как в итоге получается период, равный 2, а не период, равный 3. С другой стороны,
115
в примере 14 оказывается важным более детальное исследование свойств функции и в этом моменте он сложнее примера 13, в котором по существу хватало просто решений соответствующих уравнений.
Если более жестко проконтролировать приведенное решение примера 14, то можно заметить, что степень «функциональных» подробностей можно заметно уменьшить и обойтись более кратким образом, в частности, совсем без графика. Действительно важными оказываются только два факта: все значения функции у = fix) меньше 5, а все значения функции у = f(f{x)) меньше 4.
Решение №2.
1) Так как а2 = Aa1), то а2 принадлежит множеству значений' функции /. Оценим это множество сверху. Если X < A1 тох — 4 < О и
прэтому f(x) < 4. Если х > A1 тоЗ--^-<ЗиО<9 - J*^ ^ < 9. Так
как основание логарифма больше 1, то log3^9 — J*®^ < log39. Значит, fix) < 5 для всех х. Поэтому а2 < 5.
2) Так как а3 = f{a2) = A/"(fli))» то а3 принадлежит множеству значений функции у = f{f{?)) Оценим это множество сверху. Если f{x) < A1 то /(/(*)) < 4. Если 4 < fix) < 5, то
3 - -jj-r < 3 - < О и 9- ,, V , е < 9 - -TT-. Поэтому f(x) V 5 J Ax)+ 5 10 j
Ч^жЫ < log31' log3(9-TRTs) < °- т-e- ЛЛх)) < о.
Значит, f{fix)) < А для всех x. Поэтому a3 < А и, значит, «4 = Л«з) < 4. Аналогично, a5 = f(aA) < 4, a32 = Aa31) < 4.
3) Так как A33 = Oh a32 < A1 то
24
Aa32) = Язз 4 +--j = 0 <=> -6 = o32 - 4 <=> o32 = -2.
o32 ~ 4
Так как а32 = -2 и я31 < A1 то Л*зі) = «32 <=> 4 + 24 =-2 -4 = ^31 - 4 <=> а31 = 0.
O31 -4
Аналогично, я30 = -2, я29 = 0, a2S = -2, я27 = 0, а15 = 0, а14 = -2. Значит, ^15 - а14 = 2. Ответ: 2.
116
Решите самостоятельно
1. Решите уравнение cos2x + sin2x = 1 - 2tgx.
2. Решите уравнение 21og2(l - ~у) = 31og2(2 + ^?-) + 12.
3. Решите уравнение 21g(x + ух2 - 10 ) = 51g(x - i/x2 - 10") + 2.
4. Решите уравнение 30 • 2х- 5~х = 360х.
5. Решите уравнение 32*+333* -625*+2 = 600х+7.
6. Решите уравнение ~^х2 - 6х + + * = 1 •
7. Решите уравнение х -1х| j/l ~ +2 = 0.
8. Решите уравнение j/58 + J~T~J = 21og7 (7 Vx^).
9. Решите уравнение |/э _ ~ ^^°§2 ^25
10. Решите уравнение log81 (15 - 7X)-IOg3.^ = 1.
11. Решите уравнение log016(5 - 4х) •1Og2.^ 0,4 = 1.
12. Решите в целых числах уравнение 12* — 71 = 8 — 12* — 151.
13. Найдите все значения р, при которых уравнение
7 - 2cosx = р(1 + tg2x) имеет хотя бы один корень.
14. Найдите все значения р, при которых уравнение
3cos2x + ^- = -17
SlIlX
имеет корни.
15. Решите систему уравнений "33, + 2X+4
1Og34*^"81 = 4 - 2log9(2 -5х).
117
16. Решите систему уравнений
9х-^-36 56 5-у
17. Решите систему уравнений
0,51og(
= 1-1Og36(X-2).
-у-ПОх+11 =_5y_15jC + 22,
-2z/ - 5х *
18. Решите систему уравнений
Зу-2х-1 _2 5
.X + 2*/
+ 8 = 6-2"*-2
-2у
19. Решите систему уравнений
Г х2-5ху-4х + 20у = О,
[ 41og4 (* - 5у - 2) = log' (х(2 - у - ху)).
20. Даны два уравнения: log2(xyi7 - Ap) = 3-Ар-5х и
Зх - ^ = *2 + ^^р)* + 3- Значение параметра р выбирается так,
что 17-4р>0,р^-1и число различных корней первого уравнения равно сумме числа 5 + Зр и числа различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
21. Даны два уравнения: log7(x(l2 + Y~p)) = р(р-1)-6х + 3и 2х — Щ-= х ~ ^^р~+3|^+ 15 • Значение параметра р выбирается
так, что р < 0, р ^ -1 и число различных корней первого урав-рения в сумме с числом р + 5 дает число различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
22. Решите неравенство log6>5_^log3^_ > 0.
118
23. Решите неравенство bg|025jc+1|(0,15x+ 1,4) > 1-
24. Решите неравенство log05j,_ 2 (log3 (х2 - 2Ox + 99)) > 0.
25. Решите неравенство log2*_ 12 0°g5 (2х2 - 41х + 200)) > 0.
(х- 13 \ log4 x_iq) ^ 0.
27. Решите неравенство log12,5 _^ ^log4 > 0.
28. Решите неравенство log05^_2^log4^y|==T^ j < 0.
on n (25x-3x2 + 18) Vx-1' . л
29. Решите неравенство -—i0g \x--j\-i-^ u*
l-log4|*-4|
30. Решите неравенство
< 0.
(114-х-Зх2)Ух + 1з
31. Для чисел A1, я2, O30 верны равенства ап + 1 = Дя„), я 2, 29. Найдите я10 - яи, если известно, что а30 = 0, а
7
/(X) =
7 +
х-7
, если X < 7,
5--^ + 1о82(8-^з),еслих>7.
32. Для чисел O1, а2, а39 верны равенства ап + 1 = /(«„), и 2, 38. Найдите я4, если известно, что а39 = 0, а
3* + 5 *+1 105
х + 5
10, если X < -5, 5, если X > -5.
33. Для чисел O1, я2, а28 верны равенства я„ + 1 = /(«„), я 2, 27. Найдите а9 + а7 — а6, если известно, что я28 = 0, а Зх-3
fix) =
х-3
-, если X < 3,
I-I г~
34. Для чисел O1, a2l а29 верны равенства ап + 1 = /(я„), w = 1, 2, 28. Найдите я10 + я16 + а26, если известно, что а29 = 0, а
{5sin(0,05rcx) + 5, если х < 5, 5 - 30 • (х — I)-0'5, если X > 5.
