Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение.
1) Так как р2 + 6 > 0, то функция у = log5 (х{р2 + 6)) определена на промежутке (0; +оо). Так как основание логарифма больше 1, то эта функция возрастает. Линейная функция у = р + 5 - 2х убывает, т.к. коэффициент при X отрицателен. Поэтому число п корней уравнения (1) равно 0 или 1.
2) С возрастанием х > 0 функция у = log5 (х{р2 + 6)) возрастает неограниченно. При достаточно больших х ее график расположен выше прямой у = р + 5 - 2х. При приближеции х к нулю функция у = log5 (х(р2 + 6)) неограниченно убывает и график окажется ниже этой прямой. Значит, прямая и график функции пересекутся, т.е. п = 1.
3) Число 0 не является корнем уравнения (2). При х Ф 0 уравнение (2) равносильно уравнениям:
х2(3р + 2) + 3(3р + 2) = х2(5р +1) + (4- Зр)х + 3, (2p-l)x2-(3p-4)x-3(3p+l) = 0,
(х-3)((2р- I)Jc+(Зр-1)) = 0. (3)
Уравнение (3) всегда имеет ненулевой корень х = 3. Поэтому число k различных корней уравнения (2) равно 1 или 2.
107
4) По условию 1 = (р - 3) + А, т.е. р — 4 - А. Поэтому р равно 2 или 3. Если р = 3, то A=I, а уравнение (3) примет вид (х - 3) (5х + 10) = 0. У него 2 ненулевых корня, т.е. A = 2, что противоречит A=I. Если р = 2, тоА = 2, а уравнение (3) примет вид (х-3)(Зх+7) = 0. У него 2 ненулевых корня, т.е. А = 2. Значит, р = 2 удовлетворяет условию задачи.
5) При р = 2 уравнение (1) примет вид LOg5(IOx) = 7 - 2х. Его единственным корнем является число 2,5: log525 = 2, 7 - 5 = 2.
Ответ: 2,5.
Отметим, что, формально, в шаге 2) следовало бы сослаться на непрерывность. Однако, и приведенное выше рассуждение вполне допустимо для работы выпускника средней школы. Его можно (и желательно) сопроводить эскизами графиков. Кроме того, в шаге 3) можно и не выделять явно множитель х— 3, но тогда А Є {0; 1; 2} и усложнится перебор в шаге 4).
В вариантах ЕГЭ-2006 выполнение каждого из заданий С5 основано на решении того или иного логарифмического неравенства с переменным основанием. Методы решений подобных неравенств весьма разнообразны. Имеется не менее 4 принципиально различных для учащихся подходов к решению логарифмических неравенств:
A) перебор случаев «основание больше единицы», «основание меньше единицы»;
Б) переход к равносильным совокупностям систем неравенств, не содержащих логарифмов;
B) обобщенный метод интервалов; Г) графический метод.
Следующие примеры 10 и И показывают, как можно было оформить шаг 1) в решении заданий С5 из ЕГЭ-2006. Полный текст этих заданий см. стр. 45.
Пример 10. Решите неравенство 1Og05x (0,25х2 - 1,25*+ 1,5) < 1. Ответ: (0;1]и(3;6].
Сначала проведем преобразования, необходимые при любом способе решения:
0,25х2 - 1,25х + 1,5 = 0,25(х2 - 5х + 6) = 0,25(х-2)(х- 3).
108
Решение № 1 (подход А).
Если 0 < 0,5х < 1, т.е. О < X < 2, то по свойствам логарифмов исходное неравенство равносильно неравенству 0,25х2- 1,25х + 1,5 > 0,5х,
или. неравенствам
Значит, X < 1 или х > 6. Учитывая 0 < х < 2, получаем О < X < 1.
Если 0,5х > 1, т.е. X > 2, то получаем
О < 0,25х2 - 1,25х + 1,5 < ОДг.
Значит, 0 < 0,25(х- 2)(х- 3) и 0,25(х- 1)(х- 6) < 0. Учитывая X > 2, получаем 3 < х < 6. Объединяя с 0 < х < 1, получаем ответ.
Решение M 2 (подход Б). Данное неравенство равносильно совокупности следующих систем неравенств.
0,25х2- 1,75*+ 1,5 > 0, 0,25(х2-7х + 6) > 0, 0,25(х- 1)(х- 6) > 0.
0,5х > 1,
0 < 0,25х2- 1,25х+ 1,5, 0,25х2- 1,25х+ 1,5 < 0,5х
X > 2,
0 < 0,25(х-2)(х-3) 0,25(х-1)(х-6) < 0,
0 < X < 2,
X < 1,
X > 6,
X > 2, 1 < X < 6,
0 < X < 1, З < X < 6
<=> х€(0; 1] и(3;6].
X < 2, X > 3,
109
Решение № 3 (подход В).
Функция /(х) = log05;c(0,25x2 - 1,25х + 1,5)-1 определена и непрерывна при х Є (0; 2) U (3; +оо). Найдем ее нули: 1Og05x (0,25х2- 1,25х + '1,5) = 1, 0,25х2- 1,25х+ 1,5 = 0,5х, 0,25(х2-7х + 6) = О,
Xx — 1, X2 = 6.
Определяем знаки функции: /(8) = log412,5 - 1 > 0, /(4) < 0, /(2,5) > 0, /(1,5) > 0, /(0,5) < 0.
+ + - +
оооо о >
0 1 2 3 6 Х
Значит, f{x) < 1 <=> X Є (0; 1] U (3; 6]. Решение № 4 (подход Г).
Найдем точки пересечения графиков = 0,5х и
у2 = 0,25х2- 1,25*+ 1,5.
0,25х2 - 1,25х + 1,5 = 0,5х, 0,25(х2 - Ix л- 6) = О, X1 = 1, X2 = 6.
Первый график — прямая, второй график — парабола, ветви вверх. Если О < ух < 1, то
logi/^2 < 1 <=> Уг > У\ <=>
<=> О < X < 1. Если ух > 1, то
Іо&УіУ2 < 1 <=* О Ky2Ky1 <=> <=> 3 < X < 6.
Значит,
bgyi*/2< 1 хє(0;1]и(3;6].
Подчеркнем, что (при верном использовании) ни один из приведенных способов решения не является «более верным», чем другие. Каждый ученик вправе использовать любой из них, или их варианты. Например, довольно распространен такой вариант способа Б:
110
log, u2 < 1 <
l/i > о, у2 >0
< О,
Пример 11. Решите неравенство
log2x+2(log3(2x2 - 13х + 18)) > 0.
Решение.
1) Данное логарифмическое неравенство равносильно совокупности систем
Если X < —0,5, то (2х — 3) (х — 5) > 0, т.е. вторая система не имеет решений. Решением первой системы является объединение (—0,5; 1,5] U [5; +00) двух промежутков. Оно будет и решением логарифмического неравенства.
