Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая B(t)y как свободный член в уравнении (2.12.2) и применяя
метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, получим, что каждое'
решение у (t) удовлетворяет интегральному уравнению
t
y(t) = X(f)y(Q) + \X{t - tl)B{tl)y(t1)dtl (fSsO). (2.12.4)
О
Отсюда
II.у (О II ^ IIX (О II \\у (0) II + i II X (t - h) IIII В (U) II\\у (U)
II dtu
о
Так как система (2.12.1) устойчива, то матрица X (t) ограничена, т. е.
|| X (0Ц^ А при t^O.
Таким образом,
Ну (0IK А 11^(0) 11 + (а||В№)1|Ь№)11Л,.
о
Используя лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь
t
||у(01Г<А|1У(0) II ехр [&$ || В (tj) || dtA "S
О
/г il у (0) II exp \k \ I! В (*,) II dti] < сю.
0
Следовательно (§ 7, теорема 1), система (2.12.2) устойчива при Пример.
Пусть
хl^a2-j-^ х = 0 (а > 0). (2.12.5)
В силу теоремы 1 все решения х (t) уравнения (2.12.5) вместе с их
произ-
водными Л (t) ограничены па полуоси 0 <с < оо.
Замечание. Если матрица A = A{t) переменная, то, как
показал Перрон, теорема 1 в общем случае неверна.
114 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Теорема 2 (см. [6]). Если матрица A = [ajk\ постоянна и система
^ = Ах (2.12.6)
асимптотически устойчива при t-> со, то возмущенная линейная система
d? = [A + B(t)]y, (2.12.7)
где В (t) ? С [/0, оо) и В (t) ->-0 при t-*- оо, также асимптотически
устойчива.
Доказательство. Из асимптотической устойчивости системы (2.12.6) в силу
теоремы 2 из § 8 следует, что характеристические корни Ху (Л) матрицы А
обладают отрицательными вещественными частями. Положим
a = max ReXy(A)<0 (2.12.8)
/
и выберем число е^>0 столь малым, чтобы имело место неравенство
а + 2е<0. (2.12.9)
В уравнении (2.12.7) сделаем замену переменных
y = eA'z. (2.12.10)
Тогда
f = eA'%+'AeA'z=[A + B(t)]eA'z и, следовательно,
dt
Переходя к интегральному уравнению, будем иметь
t
2(/)=2(/0) + $ e-A'B(z)eATz(z)dz.
*0
Отсюда, так как у (/") = eAt<>z (t0), на основании формулы (2.12.10) для
решения у (t) (tQ^t<^co) получаем интегральное уравнение
t
у (t) = еА"~'•>у (t0) + \еА~'z)B(t)y (т) di.
*0
Производя оценку по норме, при найдем
t
\\у (0 II ^ II е* II \\у (to) II + 5 II ** V-) IIIIВ (Т> 11 Hjy (Т) II
*0
dzf = e~A'B (t) eAtz.
§ 12] УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ С ПОЧТИ ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ 115
Как известно (см. гл. I, § 13),
IS etA il ^с?(а+?>'' при t>-- О,
где с = с(&)- некоторая положительная постоянная. Поэтому
t
Ц_у (t) j) =s?c ||_у (t0) || e^+t){t~ta) -\- § С?(*+?)(/-т> || В (т) ||
||у (т) || dx, ИЛИ
/
е-<" + •)' Ну (0 1! ^ СIIу (U) II ?-<*+*>'о + 5 СII В (х) II "-<"+¦>* \\у
(х) II di.
to
Отсюда, применяя лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь
t
g-(a+*U |] _У (t) II =s?c II у (t0) ||<?-<*+е>'о exp [5 с II В (х) II
dx\, следовательно,
t
Ну (t)\\^c\\y (f") II + -'•> + '! ВВ(Х)МТ (2.12.11)
На основании обобщенного правила Лопиталя (см. [19]) *) и условия теоремы
получаем
t
? )! В (т) || di lim -2-- --------= lim в=0.
t -> со 1 l0 t -> 00 1
Поэтому
t
$ || В (t) II d' < г (t - ^0)
<,1
при t^T. Отсюда неравенство (2.12.11) принимает вид
||у (t) || =s?c||y (t") це<"+2*н*-ад
') Здесь применяется правило Лопиталя в форме Штольца: если для функций и
(t) и v (t) в условиях формулы Коши существует предел частного
¦ W (t)' , ...
при и " (t)-*± оо при t -- а,
то
u{t) и'(t)
lim -lim -7-777.
t-* а V (t) /-.к ^ (t)
Отметим, что предположение о пределе и (t) при t-*a не делается.
116 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
при t^>T, и значит, в силу (2.12.7) для любого решения у (t) системы
(2.11.7) справедливо равенство
lim у (0 = 0.
/->00
Таким образом, система (2.12.7) асимптотически устойчива.
Замечание. Теорема 2 остается верной, если \\B(t)\\<^k при t^T, где
положительное число k достаточно мало.
Следствие. Линейная система с полиномиальными коэффициентами
|=(л0г + л1г-1 + ...+лт):у,
где Ak (k = 0, 1,..., т) - постоянные (п/п)-матрицы, асимптотически
устойчива, если все корни Ху (/ = 1,..., п) векового уравнения
det (Л о - Х?) = 0
имеют отрицательные вещественные части: Re Ху <С 0 (/ = 1,..., п).
Действительно, полагая
1
будем иметь где
В(Т):
, (Г'=Т,
т-\-1 '
% = [АЛ + В(х)]у,
^1 | Ап
1 1 1 т
1 m+4 Urn -4- I'l т1 m+l
Так как Б(т)->-0 при,т->-оо, причем т->-оо при t^-oo, то наше утверждение
непосредственно вытекает из теоремы 2.
Замечание. Для линейной дифференциальной системы с переменной матрицей
теорема 2, вообще говоря, неверна. Пример. Скалярное уравнение
Ч-т ">">•
имеющее общее решение
с
очевидно, асимптотически устойчиво при < -* со. Тем не менее скалярное
уравнение
dt t >
коэффициент которого
-U-1+' t t't
§13] СЛУЧАЙ ЛАППО-ДАНИЛЕПСКОГО ПТ
отличается от коэффициента первого уравнения на функцию, бесконечно малую
при t -* со, неустойчиво при t -* со. Действительно, его общее решение
y = ct
не ограничено на интервале 0<<-<со.
§ 13. Случай Лаппо-Данилевского
Рассмотрим один случай линейной системы с переменной матрицей, для
которого нетрудно провести исследование устойчивости. Положим
