Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Дв = (- 1)МвДя_1>0.'
Пример 1. Для полинома
/(г) = z3+/>zs + 9z + r1 где р, q, г действительны, условия Гурвица суть
г > 0
Д1 = Я > о,
Я г
Д2 = Д.=
1 Р
1 • д2 > о,
>0,
<7 > 0, 0 crcpq.
Таким образом, в пространстве коэффициентов область Opqr полиномов
Гурвица ограничена положительной частью координатной плоскости г = 0 и
гиперболическим параболоидом r = pq (рис. 13).
Пример 2. Определить область асимптотической устойчивости для
системы .
dx ,
W=~x+ay'
ZjL = Vx-y + *z,
dz
dt
= Py-z,
(2.9.29)
где а и (3 - действительные параметры.
102
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
Характеристическое уравнение для системы (2.9.29) имеет вид
Х+1 -а ,0
_р х+1 -а =0,
0 -р Х+1
- а
О,
или
Замечание. Чтобы стандартный полином
f (z) - fltf -j- а,г а"гп
имел нули, лежащие лишь в - замкнутой левой полуплоскости Нег^О,
необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Д,, Д" его
матрицы Гурвица были-бы неотрицательны:
Пусть A = [ajb\ - постоянная действительная матрица и G- область
асимптотической устойчивости системы
в пространстве коэффициентов aJk. Область G* = простой
устойчивости системы (2.9.30) содержится в замкнутой области G = G[JYt
причем Г* представляет собой часть границы Г, состоящую из точек (ajk),
для которых характеристические корни с нулевой вещественной частью
матрицы А имеют лишь простые элементарные делители ("безопасная
граница"). Дополнительная часть границы Г\Г* не входит в область G*
("опасная граница.-").
§ 10. Критерий Михайлова
Если степень полинома /(г) сравнительно большая, то применение критерия
Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета
определителей высоких порядков. В этом случае для определения
расположения корней гх, ..., г" полинома / (г) на комплексной плоскости
иногда оказываются более удобными геометрические признаки, эквивалентные
критерию Гурвица. Мы здесь изложим один из них, так называемый частотный
критерий А. В. Михайлова.
(/=1.....п).
(2.9.30)
КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА
103
Пусть
f(z) = a0-\-a1z-\-...-{-anzn (2.10.1)
- стандартный полином степени п(п^ 1), т. е. коэффициенты а", • • ¦,
ап действительны, а0 0 и апФ 0. Кривая
w = f(i*o), (Г)
где ш - действительный положительный параметр (0 ш оэ) и i = V- 1,
называется годографом Михайлова функции /(г).
Докажем одну лемму, из которой непосредственно следует принцип Михайлова.
Лемма. Пусть f{z) - стандартный полином степени п, не имеющий чисто
мнимых корней. Тогда угол поворота против хода часовой стрелки ненулевого
вектора / (Ы) при 0 ш <: -f- оо равен
Ф = ^(п - 2т), (2.10.2)
где т - число корней полинома f{z) с положительной вещественной частью (0
=<; т п), с учетом их кратностей.
Обратно, если справедлива формула (2.10.2), то на положительной
полуплоскости Rez]>0 расположено точно т корней полинома f{z), где каждый
корень считается столько раз, какова его кратность.
Доказательство. Доказательство леммы проведем, следуя в основном А. А.
Фельдбауму (См. А. А. Фельдбаум, Электрические системы автоматического
регулирования, Оборонгиз, 1954, гл. VII).
1) Пусть стандартный полином /(г) (2.10.1) степени п имеет всего 2р
комплексно-сопряженных корней a,, rp i|3;- (/ = 1, ..., р;
о.;- ф 0, Ру^>0) и ц действительных корней (k=\, . q\ ~[h ф 0), где
каждый корень считается столько раз, какова его кратность, т. е.
2 p-\-q = n.
В частном случае, возможно р = 0 или ^ = 0.
Разлагая полином /(г) на линейные множители и учитывая, что ввиду
действительности его коэффициентов комплексно-сопря-женные множители
могут быть попарно объединены, получим
f (г) - ап Л (г - я, + фу) (г - ау - фу) Д (г - fft).
/=1 k - I
Отсюда
f (*ш) = ап Г1 (*'ш - "у -г %) (i°> - aj - %) П (iu> - Tft)- (2-10-3)
i = L A = L
104 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. П
Интересующий нас угол поворота вектора / (***>), очевидно, равен
Ф = ДГ Arg/(tio),
где Дг обозначает приращение соответствующей функции ьдоль годографа
Михайлова Г, когда параметр ю изменяется от 0 до -j-oo. Так как при 0 u>
оо все множители произведения
(2.10.3) ненулевые, то в силу известных теорем об аргументе
произведения имеем
ФР = дг Arg ап + 2 Аг tArg (t4° - aJ + %) +
/ = i
k
+ Arg (tw - ay - фу)] + 2 Дг Arg (tio - fft), (2.10.4)
где под Argz понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной функции
arg г -)- 2Ы (k = Q, rt 1, ± 2, ... и arg г - главное значение аргумента:
-ir<^arg2s^ic). Для определенности будем считать, что при ю = 0 аргументы
всех слагаемых формулы (2.10.4) равны их главным значениям.
Очевидно,
Дг Arg ап = 0. (2.10.5)
Пусть
Arg (tio - Оj 4- фу) |m_0 = arg (-O.J + фу) = сру (0 < <ру < 71). Тогда
Arg (tio - ay - фу) |m_0 = arg (-ay-фу) = arg (- ay + фу) = - cpy.
Поэтому
{Arg(ia> -ay + фу) + Arg (ia> -ay -"Py) }!"_,= 0 (j = 1, ..., p).
(2.10.6)
Так как Py>0, то при увеличении параметра ю, как ясно из геометрических
соображений, Arg (tio - ау-)-фу), оставаясь в пределах от 0 до и, будет
монотонно возрастать, если ау<^0, и монотонно убывать, если ау^>0; при
