Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
137
в обычный многочлен, если воспользоваться разложениями многочленов Тк(х) по степенному базису. Подставляя в (46) 7о(х) = 1, Ti(x) =х, Т2(х) = 2х*- 1, получаем
1п(1+х) ~ --^l+-^-x-J-{2x2-1) =
1 (47)
32 1 8 4
Итак, переход от степенного разложения (44) к чебы-шевскому разложению (47) и от него — снова к степенному разложению (47) (с попутным «отсеиванием» лишних членов, изменяющих вычисляемое значение на величину, меньшую, чем ошибка первоначального приближения (44)), дает ощутимую выгоду. Так, при О ^ х ^ 1 значения In (1 + л:) могут быть вычислены при помощи квадратного трехчлена (47) с той же точностью, что и по пятичленной формуле (44).
В общем случае длинный отрезок степенного ряда после переразложения по чебышевскому базису дает приближающий многочлен значительно меньшей степени, так как многие старшие члены чебышевского разложения изменяют значение вычисляемой величины в пределах ошибки первоначального разложения, и их без особого ущерба можно отбросить.
Задача 88. Найдите начальные отрезки чебышевских разложений для бинома с положительным и отрицательным показателями, экспоненты и показательной функции, синуса и косинуса.
КАК ОПУСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ИЗ ФУНКЦИИ
Во введении мы говорили о том, что линейное векторное пространство многочленов можно превратить в евклидово пространство, задав скалярное произведение, «сконструированное» по образу и подобию скалярного
138
произведения «настоящих» векторов на плоскости или в пространстве. Для многочленов Чебышева первого рода Тп (х) скалярное произведение имеет вид
+i
dx.
(48)
Как именно вычисляется интеграл в правой части, для нас сейчас несущественно. Важно лишь, что-
Мы видим, что многочлены Чебышева с различными номерами ортогональны: их скалярное произведение равно нулю. Докажем, что из ортогональности многочленов Чебышева Ти(х) следует их линейная независимость. Рассмотрим линейную комбинацию
тождественно равную нулю. Умножив ее на Tk(x) при k = О, 1, п и вычислив скалярное произведение по формуле (48), получим
(из-за ортогональности многочленов все остальные скалярные произведения равны нулю). Но (Tk(x), Ти(х))Ф ф 0 (см. (49)), поэтому а& = 0. Следовательно, линейная комбинация многочленов Чебышева тождественно равна нулю в том и только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю, что и доказывает линейную независимость многочленов Tk(x).
(Tm(x), Тп(х)) =
0 при m Ф п, — при m = п Ф 0, . я при m = п = 0.
(49)
аоТо(х) -f aJt(*)+... + апТп(х)
ak(Tk(x), Tk(x)) = 0
139
Подчеркнем, что мы нигде не использовали конкретный вид скалярного произведения и то обстоятельство, что Тн (х) —многочлены. Поэтому вывод о линейной независимости многочленов Th(x) распространяется иа систему любых ортогональных функций.
Например, периодические функции удобно приближать «тригонометрическими многочленами», представляющими собой линейные комбинации конечного числа функций 1 и
sin х, sin 2х, sin Зх, cos х, cos 2х, cos Зх, ...,
ортогональных на отрезке [— я, 4- п] относительно скалярного произведения
+я
(luh) = ih(x)h(x)dx. (51)
-я
Для любой функции / из (50)
(/. /) = л
(т. е. на отрезке [— я, + я] любой синус или косинус из
(50) имеет длину У я, если скалярное произведение понимать в смысле (51), а во всех остальных случаях оно равно нулю). Из ортогональности функций (50) следует, что они линейно независимы.
Разложение в бесконечные тригонометрические многочлены
f(x) = ал/2 4 «1 cos х 4 bi sin х 4-4 cii cos 2х 4 Ьг sin 2х 4 .. . 4 а„ cos nx 4 bn sin nx 4 ...
называется рядом Фурье, а его коэффициенты — коэффициентами Фурье в честь французского математика Ж. Б. Фурье (1768—1830), одним из первых представив-
140
шсго в таком виде произвольную периодическую функцию.
Понятие скалярного произведения позволяет по-новому взглянуть на задачу приближения произвольной функции конечным набором заданных ортогональных функций.
Пусть f (х) — некоторая функция, {fi(x).....fn(x)} —
конечный набор ортогональных функций, (,) — скалярное произведение. Требуется найти такую линейную комбинацию /•'(я) функций fi(x), для которой разность f(x)—F(x) была бы наименьшей («длину» разности
f(x) — F(x) мы измеряем величиной У (f — F, f — F)).
Отвлечемся на время от нашей задачи и обратимся к школьной геометрии. Напомним, что прямая АВ называется перпендикулярной плоскости Р, если она перпендикулярна ко всем прямым, проходящим через точку ее пересечения с этой плоскостью и лежащим в этой плоскости (рис. 36). Точка В — основание перпендикуляра,
А
Рис. 36. Перпендикуляр и наклонная.
опущенного из точки А на плоскость Р,— называется ортогональной проекцией точки А на плоскость Р. Со времен Евклида известно также, что перпендикуляр АВ короче любой наклонной АС, проведенной из точки А к плоскости Р.
Нетрудно заметить, что определение прямой, перпендикулярной плоскости, включает слишком много требований: прямая АВ перпендикулярна ко всем прямым,
141
