Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Многочлены Чебышева второго рода, как и многочлены Чебышева первого рода, тесно связаны с тригонометрическими функциями.
Задача 49. Докажите, что при п 1
sin (я arccos х)
U-iW = —-А
sin (arccos х)
Задача 50. Докажите, что при п |> 1
?/„_!(*) =С» xn~l-C* (1-х2)х"-3 + С5 (1 -я*)2*»-5-...
п п п
Многочлены Чебышева второго рода Vn(x) известны не только как производные от многочленов Чебышева первого рода Тп(х). Они важны и сами по себе: с точностью до некоторого множителя многочлены Un(x) совпадают с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на отрезке [—1, + 1] среди всех многочленов с коэффициентом при старшем члене, равном единице, если уклонение измерять как площадь под графиком модуля функции на отрезке [— 1, + П. т- е- как
J \f{x)\dx. (33)
-i
Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, имеют вид
1
наименьшее уклонение для Un{x) равно l/2n_1.
114
Взглянув на рис. 33, можно заметить, что многочлены Чебышева второго рода не обладают свойством равноко-леблемости. Его аналогом служит следующее свойство: площади всех п + 1 частей плоскости, ограниченных осью х, прямыми х = ± 1 и графиком многочлена Un(x), равны.
Предоставляем читателю доказать с помощью определения (33) следующие свойства многочленов Чебышева второго рода Un(x) и сравнить с аналогичными свойствами многочленов Чебышева первого рода.
Задача 51. Докажите, что на отрезке [— 1, + 1] многочлен Un(x) имеет ровно п различных корней
k
Xh = COS-я,
п + 1
где k = 1, 2.....п.
Задача 52. Докажите, что корни многочленов Un(x) симметричны относительно нуля. Дайте геометрическую интерпретацию корней аналогично представленным на рис. 29.
Задача 53. Докажите, что нули многочленов U„(x) и U„-i(x) при я ^ 2 перемежаются.
Задача 54. Докажите, что при любом k = 1, 2, я многочлен
/ * \
U„ (х) делится на у х — cos — ^ я J .
Задача 55. Докажите, что коэффициент при старшем члене многочлена Un(x) равен 2".
Задача 56. Докажите, что при любом п ^ О
Un(x) =
= 2» ( х -cos—--) (х-cos-^—-) ••• (x-cos-ГТ"Ь
\ n+l J \ п+1 / \ п+1 1
Задача 57. При каких т и я многочлен Um(x) делится на многочлен U„(x)1
Задача 58. Докажите, что при четных я многочлены Чебышева второго рода U„(x) четны, а при нечетных п нечетны.
Задача 59. Докажите, что сумма произведений любого четного числа различных корней многочлена U„(x) нечетной степени равна нулю,
115
Задача 60. Докажите, что сумма произведений любого нечетного числа различных корней многочлена U„(x) четной степени равна нулю.
Задача 61. Докажите, что многочлен Un (х) наиболее уклоняется от нуля на концах отрезка и в п — 1 внутренних точках. Каких именно?
Задача 62. Докажите, что
\Un(x) \ < п+ 1,
причем равенство достигается только на концах отрезка [— 1, + 1]. Задача 63. Докажите, что при п 55 1
(х-+ yl*~i) -+1 — [х- у*2 — 1) "+1
Un (х) = -———--.
Ух2 - 1
РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Ранее мы попытались интуитивно найти соотношение, которое позволило бы нам по уже известным многочленам Тп(х) и Tn-i(x) определить Тп+\{х). В дальнейшем займемся построением таких соотношений (называемых рекуррентными от латинского «рекурро» — бежать назад, возвращаться) между многочленами Тп(х) различных степеней, многочленами Un(x) различных степеней, а также между многочленами Тп{х) и Un(x). Все они представляют собой точные алгебраические аналоги соответствующих тригонометрических тождеств, доказать которые читатель сможет без особого труда.
Приведем далеко не полный перечень соотношений между многочленами Чебышева первого рода.
Задача 64. Докажите, что при п 1
Тп+1(х) = 2хТп(х) -Т„-,(х).
Полагая Т^(х) = 1, Tt(x) = х, получите с помощью этого рекуррентного соотношения многочлены Т,,(х) до п — 10. Задача 65. Докажите, что при m 5s п
Tm+n(x) +Tm-n(x) = 2Tm(x)Tn(x).
116
Задача 66. Докажите, что при п Зг О
Тгп{х) = 2Р (х) - 1.
Задача 67. Докажите, что при п 3s 1
хТп(х) =-^-[7\,и(х) +Гп_,(х)].
Задача 68. Докажите, что
**Г„ (х) =
Г71+),(д:) +c'7-n+ft-2(x) +drn+ft_3(x) + ... + Г„.»(х)
2*
Задача 69. Докажите, что Tzk+i{x)
-— = 2T2lt(x) -2T2h-.2(x) +2Т2к^(х) - ...±To(x).
x
Соотношения между многочленами Чебышева второго рода не уступают по разнообразию соотношениям между многочленами Чебышева первого рода.
Задача 70. Докажите, что при п 3s 1
U„,ri(x) = 2xUn(x) - Un-i(x).
Полагая U0(x) — 1, Ut(x) = 2x, получить с помощью этого рекуррентного соотношения многочлены Un(x) до степени п = 10 включительно.
Задача 71. Докажите, что при п 3s 1
Ui(x) + U3(x) + ... + Uib-i(x) = Un-i(x)U„(x). Задача 72. Докажите, что
Uo(x) + Uz(x) + Ui(x) + ...+ игп-2(х) = ul-i(x).
Задача 73. Докажите, что
Ut(x) + С[и3(х) + ... + С» и2п^(х) = 2"x»Un + t(x).
Наконец, нельзя не упомянуть и о «гибридных» соотношениях между многочленами Чебышева первого и второго родов.
117
Задача 74. Докажите, что при п
Тт+„(х) - Тт~п(х) = 2(х*- 1)1/т_,(х)?/„_,(*). Задача 75. Докажите, что при п ^ 1
