Многочлены Чебышева - Данилов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
Важное место в проекте Бейтмена отводилось ортогональным многочленам. Мы могли бы рассказать об их свойствах: о том, что каждый ортогональный многочлен степени п имеет внутри соответствующего отрезка [а, Ь]
150
ровно п корней, что нули ортогональных многочленов с «соседними» номерами перемежаются, что все ортогональные многочлены четной степени четны, а все ортогональные многочлены нечетной степени нечетны; что нули их при п -> оо имеют одинаковое предельное распределение. Мы могли бы рассказать об универсальных, или всеобъемлющих, многочленах Якоби, частными случаями которых являются все ортогональные многочлены, в том числе и многочлены Чебышева.
Мы могли бы начать с истории о том, как в 1933 г. Геофизический институт обратился к известному советскому математику академику Н. Н. Лузину (1883—1950) с просьбой проанализировать широко применявшийся в то время метод предсказания погоды по данным метеорологических наблюдений, собранных за большой период (так называемый метод периодограмм), и выяснить его обоснованность. Суть метода периодограмм состояла в представлении эмпирических кривых (построенных по данным наблюдений) тригонометрическими многочленами — суммами конечного числа синусоид. Амплитуды, начальные фазы и периоды синусоид подбирались так, чтобы тригонометрический многочлен наименее уклонялся от эмпирической кривой на том отрезке, на котором производились наблюдения. Считалось, что и вне этого отрезка многочлен хорошо согласуется с представляемой эмпирической кривой и, следовательно, может быть использован для предсказания значений, принимаемых кривой «в будущем» — за пределами интервала наблюдений.
Произведенный Н. Н. Лузиным анализ показал, что естественные границы применимости метода весьма узки, и вне их прогноз на основе периодограмм давал фантастические результаты, не имевшие ничего общего с истинными закономерностями. Как и приближения эмпирических кривых на основе других (нетригонометрических) функций, периодограммы оказались непродолжаемыми
151
за пределы того отрезка времени, в течение которого производились наблюдения. Миф о надежности периодограмм как основы прогноза был развеян окончательно и бесповоротно: обоснованный прогноз надлежало строить на иных принципах.
Помимо необычайно важного для практических приложений отрицательного вывода о непригодности периодограмм, Н. Н. Лузин получил не менее значимый положительный результат: решив задачу о многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции (эмпирической кривой), он открыл новый класс многочленов, аналогичных по своим свойствам многочленам Чебышева и переходящих в них в том случае когда приближаемая кривая на всем отрезке, в течение которого производятся наблюдения, тождественно равна нулю.
Мы могли бы начать с рассказа о косинусе комплексного числа, который может быть больше единицы, и рассмотреть многочлены Чебышева не только на отрезке [— 1, + 1], но и на всей вещественной оси, задав их рекуррентным соотношением
Tn+i(x) = 2хТп(х) — Тп-л{х),
Т0(х) = 1, Ti(x) = х, п > 0.
Тригонометрическое определение при х > 1 нам бы прибилось рассматривать в комплексной области, где оно остается в силе.
Мы могли бы начать... Впрочем, закончить наш рассказ о многочленах Чебышева не менее трудно, чем начать его.
Мы могли бы рассказать о двумерных аналогах многочленов Чебышева, тесно связанных с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на квадрате \х\ ^ 1, \у\ ^ 1. Не менее интересно было бы познакомиться и с многочленами Чебышева, заданными не на всей оси, а лишь в целых точках. Мы могли бы рассказать и о наи-
152
более экономных таблицах функций и о многом другом, но пора ставить точку. Изменив лишь одно слово во введении к «Оптике» Ньютона, мы позволим себе выразить надежду, что изложенного достаточно в качестве введения читателям с быстрым умом и хорошим пониманием, но еще не опытным в математике.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арсеньев А. А., Самарский А. А. Что такое математическая физика.— М.: Знание, 1983.—63 с.
2. Бернулли И. Избранные сочинения по механике.— М.— Л.: ГТТИ, 1937.—297 с.
3. Бернштейн С. Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной.— М.— Л.: ОНТИ, 1937.—203 с.
4. Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым.— Квант, 1983, № 4, с. 12—15.
5. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов.— Киев: Науко-ва думка, 1976.—269 с.
6. Бурбаки Н. Архитектура математики.— Математическое просвещение, 1960, в. 5, с. 99—112.
7. Венгерские математические олимпиады.— М.: Мир, 1976.— 543 с.
8. Венцель Е. С. Методологические особенности прикладной математики па современном этапе.— В кн.: Математики о математике. М.: Знание, 1982, с. 37—55.
9. Гарднер М. Математические досуги.— М.: Мир, 1972.—496 с.
10. Гельман А. Е. Рекуррентный метод вычисления корней алгебраического уравнения.— Математическое просвещение, 1961, в. 6, с. 171—180.
11. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле.— М.: Гостехиздат, 1948.—424 с.
