Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя по проторенному пути, будем считать г функцией ф и, выбрав в качестве независимой переменной и = Vr1 получим уравнение (ср. с уравнением (94))
6и
где
(^-)2 = 2Ми* -и"+ 1/D* = /(ы), (214)
D= LIE (215)
есть прицельный параметр. Заметим, что в отличие от прежнего определения в функции / (и) отсутствует линейный по и член и, кроме того, свободный член всегда положителен. 5»
132
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
а. Радиальные геодезические. Начнем с исследования радиальных изотропных геодезических, описываемых уравнениями
^_ = ±?, (,_«?.)*._„. (2,6)
Комбинируя их, получаем
or _ , і Л 2М dt
(і-Щ- (217)
Интегрирование этого последнего уравнения дает
t = ±r* + const+, (218)
г* = г + 2/И In (г/2M — 1). (219)
Переменная г# играет чрезвычайно важную роль в дальнейших исследованиях. Обычно она определяется уравнением (ср. с уравнением (74))
+ = + + (220)
где
A = г2 — 2Mr = r%2v (221)
есть функция горизонта. Функция г% имеет следующие свойства:
г* —оо, когда г 2М + 0, (222)
г* -> г, когда г -»- +ОО.
Значение переменной г* определяется именно этими свойствами: при изменении г* от —оо до +оо полностью исчерпывается область пространства-времени, доступная наблюдателю вне горизонта.
Уравнение (218) интересно сравнить с уравнением
г = ±Ех + const+, (223)
связывающим г с собственным временем т. Уравнения (218) и (223) показывают, что наблюдатели, движущиеся вдоль радиальных геодезических, пересекают горизонт, даже не замечая этого, при конечном значении собственного времени, тогда как требуется бесконечное координатное время, чтобы только приблизиться к горизонту, а преодоление этого препятствия находится вне поля зрения наблюдателя вне горизонта. Все это видно на рис. 8, на котором изображены световые конусы, образованные радиальными геодезическими, описываемыми уравнением (217).
Выпишем касательные векторы к радиальным геодезическим:
Ниже, в § 21, мы покажем, что эти изотропные векторы являются основой для построения изотропной тетрады, необходимой при
20. Изотропные геодезические
133
описании пространства-времени Шварцшильда в формализме Ньюмена —Пенроуза.
б. Критические орбиты. Вернемся к общему уравнению (214) и рассмотрим сначала все возможные случаи расположения корней кубического уравнения
/ (и) = 2Mu3 — и2 + D'2 - 0. (225)
Сумма и произведение корней ul9 U2 и U3 равны
U1 + U2 + U3 = 1/2M9 U1U2U3 = —1/2MD2. (226)
Ясно, что уравнение f (и) = 0 должно иметь отрицательный действительный корень, а два других корня могут быть или действи-
r = 0 r = 2M г
Рис. 8. Падающие и уходящие радиальные изотропные геодезические в шварц-шильдовых координатах.
тельными (различными или одинаковыми), или составлять пару комплексно сопряженных корней. Таким образом, мы должны, рассмотреть те же варианты, что и для случая неограниченных времениподобных геодезических. В классификации изотропных геодезических определяющую роль играет условие совпадения двух положительных корней *. По этой причине мы сначала рассмотрим этот критический случай.
* Невозможность существования трех действительных отрицательных корней следует из соотношения U1 + U2 + U3 = ХІ2М > 0.
134
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
Условие существования двух одинаковых корней получим, дифференцируя^ уравнение (225) и приравнивая производную нулю:
/' (и) = 6Mu2 — 2и = 0. (227)
Это уравнение допускает корень и = (3M)'1, который будет одновременно корнем (двойным корнем) и уравнения (225), если
D2-27M2, или D = 3/3M. (228)
Из второго из уравнений (226) получаем значение корней уравнения / (и) = 0 в интересующем нас случае:
U1 = —1/6М, U2 = U3 = 1/3M9 (229)
причем D = 3 у ЗМ. Более того, при таком значении D производная (Wdcp становится равной нулю при и = (ЗМ)'1. Следовательно, круговая орбита радиуса ЗМ является изотропной геодезической. Однако эта круговая орбита не может быть устойчивой. Ее место в семействе изотропных геодезических мы уясним, рассмотрев уравнение (214) в случае совпадения двух корней:
(^)2-=2Л1(" + біг)(«-ж)2- (23°)
Нетрудно проверить, что оно удовлетворяется подстановкой
и = —(1/6M) + (1/2M) th2 [(ф — ф0)/2], (231)
где фо — постоянная интегрирования. Если выбрать ф0 так, чтобы
th2 (ф0/2) = 1/3, (232)
то
и = 0 и г->оо, когда фггО. (233)
Заметим также, что
и = 1/ЗМ, когда ф-> оо. (234)
Таким образом, изотропная геодезическая начинается на бесконечности с прицельным параметром D = 3 -\/~ЗМ и приближается асимптотически к окружности радиуса г = ЗМ, закручиваясь вокруг нее по спирали.
Очевидно, должна существовать и «орбита второго рода», связанная с орбитой (231), которая, начинаясь на сингулярности, подходит асимптотически к той же окружности г = ЗМ с другой стороны, закручиваясь по спирали. Такая^орбита может быть получена подстановкой
и = 1/ЗАГ + (1/2M) tg2 (Ц2) (235)
в то же самое уравнение (230). Уравнение при этом приводится к виду
