Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Iі--(l', Г, Л 1*)=:±(г\ + А, 0, 0),
Библиографические замечания
143
и для спиновых коэффициентов получаем следующие значения: K = G = X = V = E = Ji=I: = 0, (287)
р — XIr9 ? = — а = ctg Є/2 /2г, Ii = — (г — 2AJ)/2r2, 7 = Af/2r2. (288)
Равенство нулю спиновых коэффициентов K9 O9 X и V свидетельствует о том, что конгруэнции изотропных геодезических I и п являются бессдвиговыми. И действительно, это с очевидностью следует из чисто радиального характера этих изотропных геодезических в сферически симметричном пространстве-времени. На основании теоремы Гольдберга—Сакса можем заключить, что пространство-время Шварцшильда относится к типу D по классификации Петрова.
Из теоремы Гольдберга—Сакса следует также, что в выбранном базисе вейлевские скаляры Y0, Y1, W3 и Y4 равны нулю и лишь скаляр W2 остается не равным нулю. Это можно проверить прямым вычислением, свертывая ненулевые компоненты тензора Римана уравнения (76) с соответствующими векторами 1, n, m и m (см. определения вейлевских скаляров, данные уравнениями (294) гл. 1), напомним также, что тензорные индексы 0, 1, 2 и 3 соответствуют координатным индексам t9 ср, г и Э соответственно. Равенство нулю скаляров W09 W19 W3 и Y4 проверяется легко. Рассмотрим скаляр Y2:
- Rijkil1m]nkml =
= (г2/2А) (R0J01 - e2v R0j2l - e2v R2j0l - e4v R2J21) mJm1 =
= (e~274r2) {R0101 cosec2 Є + Яозоз - eAv R2323 - e4v cosec2 в). (289)
Подставляя значения компонент тензора Римана из уравнений (76), находим
Y2 = — Mr*. (290)
На этом мы закончим описание пространства-времени Шварцшильда в формализме Ньюмена—Пенроуза.
Библиографические замечания
К. Шварцшильд (1873—1916) впервые опубликовал вывод решения, названного впоследствии его именем, в работе
1. Schwarzschild К. Berliner Sitzungsbesichte (Phys. Math. Klasse), 189—196, 3 Feb. 1916 (Mitt. Jan. 13).
См. также
2. Schwarzchild К. Berliner Sitzungsbesichte (Phys. Math. Klasse), 424—434, 23 Mar. 1916 (Mitt. Feb. 24).
Едва ли найдется такая книга по общей теории относительности, в которой так или иначе не обсуждалось бы решение Шварцшильда. Тем не менее драматические обстоятельства, сопутствовавшие этой работе Шварцшильда, вероятно, известцц вдало. По-видимому, впервые они были описаны в работе
144
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
3. Chandrasekhar S. Notes and Records of the Royal Society of London, 30, 249—260, 1976
и пересказаны в книге
4. Sullivan W. Black Holes, Anchor Press, Doubleday" Garden City, New York, 1979, pp. 61—62.
Ниже мы кратко повторим историю, изложенную в работе [3].
Статья Шварцшильда, в которой содержался вывод его решения, была доложена А. Эйнштейном 13 января 1916 г. Берлинской академии наук, примерно через два месяца после того, как сам Энйштейн опубликовал в виде краткого сообщения основные уравнения своей теории. В письме к Шварцшильду от 9 января 1916 г., благодаря Шварцшильда за присылку рукописи, Эйнштейн писал:
«Я прочитал Вашу статью с величайшим интересом. Я не ожидал, что можно так просто сформулировать точное решение задачи. Аналитическое исследование задачи кажется мне великолепным».
Шварцшильд получил свое знаменитое теперь решение при следующих обстоятельствах.
Весной и летом 1915 г. Карл Шварцшильд служил в немецкой армии на восточном фронте в небольшом техническом штабе. Там он заболел неизлечимой болезнью пузырчаткой и умер 11 мая 1916 г. В госпитале Шварцшильд написал две статьи по общей теории относительности (кроме того, он написал фундаментальную работу по теории Бора — Зоммерфельда).
Из многих книг, в которых обсуждается решение Шварцшильда, читателю можно рекомендовать прекрасные изложения в книгах
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — M.: Наука, 1967.
6. Misner С. W., Thome К, S., Wheeler J. A. Gravitation, W. Н. Freeman and Co., San Francisco, 1970. ch. 25, pp. 655—678, ch. 31—32, pp. 819—841. [Имеется перевод: Ч. Мизнер, К- Торн, Дж. Уилер. Гравитация. В 3-х т. — M.: Мир, 1977.]
Рис. 3 и 5 в нашей книге воспроизведены из этой книги Мизнера, Торна и Уилера.
§ 17—18. Широко принято (как, например, в книгах [5, 6]) сначала выводить метрику Шварцшильда в координатах (/, г, 0, ф), а затем преобразовывать к координатам Эддингтона — Финкелыитейна или Крускала, чтобы показать, что сингулярность на сфере Шварцшильда радиуса Rs = 2GMIc2 не истинная, а координатная, и выявить природу сферы Шварцшильда как поверхности горизонта событий. Мы обратили эту процедуру и получили решение сразу в координатах Крускала, а затем для удобства преобразовали его к координатам Шварцшильда. В этом мы следовали Сингу:
7. Synge J. L. Annali di Matematica pura ed Applicata, 98, p. 239—255, 1974. Как отметил Синг, «если бы сферически симметричная задача первоначально решалась именно так, никому бы и в голову не пришла мысль о сингулярности в этом месте» (т. е. при г — Rs). Получилось, однако, так, что основная идея о том, что природа пространства-времени Шварцшильда лучше всего может быть понята в изотропных координатах, была высказана в работах
