Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
0<е<1 (E2 < 1). (115)
(Значение U3 получено из условия (112).)
Важно отметить, что принятое нами упорядочение U1 < U2 < <: U3 приводит к ограничениям на возможные значения / и е:
1/2Af -г 2/1 < (1 + e)/l, I ^ 2М (3 + е). (116)
Вводя обозначение
Ii = MZl1 (117)
получаем важное неравенство
[X <: 1/2 (3 + е), или 1 — 6[х — 2\ie ^ 0. (118)
Записывая / (и) в виде
/ (и) = 2М [и — (1 — *)//] [и — (1 + е)Ц\ (и — 1/2М + 211) (119)
и сравнивая с определением (ПО), приходим к следующим соот-нощениям:
MIL2 = (XIl2) [1-М (3 + е2)],
(1 — E2)IL2 = (I//3) (I — 4Af) (1 — е2), (120)
которые можно выразить через fx в виде
1/L2 = (MlM) [1 — [X (3 + е2)],
(1 — E2)IL2 = (Ml2) (1 — 4[х) (1 — е2). (121)
Из этих соотношений следует, что
Ii < (3 + е2У\ ii < V4. (122)
Справедливость этих неравенств легко проверить, используя неравенство (118).
Отметим, что из уравнения (121) можно получить альтернативное выражение для E2:
(EIL)2 = (MlM) [(2[х — I)2 - 4[х?Ч. (123)
Вернемся теперь к уравнению (109) и сделаем подстановку
и = (Ml) (1 + е cos х), (124)
где X — новая переменная, которую, следуя Дарвину, можно назвать «релятивистской аномалией». В апоцентре
и = (1 —е)/1, і = я, (125а)
114
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
а в перицентре
и = (1 + ё)11, х = 0. (1256)
Нетрудно проверить, что подстановка (124) приводит уравнение (109) к простому виду:
("ЗІ)2 = [ 1 " (3 + 6C0SX)1 = [(1 " ^ + " C0S21/2Xl'
(126)
или
± JJjL = (1 - 6(1 + 2И1/2 (1 - ?2cos*72x)1/2, (127)
где
k2 = 4|W(1 — 6[л + 2|яв). (128) Неравенство (118) гарантирует, что
к2 <: 1, 1 — 6[х + 2[i* >0. (129)
Теперь очевидно, что решение для ф может быть выражено через эллиптический интеграл Якоби:
F($, k) = J (1 - ?2sin2 7)-1/2 dY, (130)
о
где
op = (я - 1)12. (131)
Таким образом, можно записать:
Ф = 2(1 — 6(Li + 2И"172/7 (Van - V2X, *); (132)
начало отсчета ф выбрано в апоцентре, где % = я. Перицентр имеет место при х = 0» когда г|) = я/2. (Орбиты, вычисленные на основе уравнения (132), показаны на~рис. 7а (а — в) ниже.)
Интегрированием уравнений (95) заканчивается решение уравнений движения. Записав искомые интегралы в виде
*--И-3—ИЗ-*. <133>
t = T J 17* w2(l — 2Mu) ^134)
и используя уравнения (121), (123), (124) и (126), получаем
я
т = (Р/МУ2 [1 - ц (3 4- е2)]'/2 j dx(1 + ecosх)-2 X
X
X [1 - 2n(3 + ecosx)]-'/2, (135)
Я
t =¦- (/3/М)'/2[(2ц - I)2 - 4ц2е2]'/2 j dx [1 + ecosx]-2 X
X [1 -2n(3 + ecosx)]-,/2[l -2ц(1 ~f- ecosx)]-1. (136)
19. Времениподобные геодезические
115
Удобно выразить /их через ньютоновский период для кеплеров-ской орбиты с теми же эксцентриситетом и фокальным параметром:
Ту = [4я2/3/(1 - ^)3GAf]1/2, (137)
>д интегралами в праві етственно равны
(1/2л)Г„(1 -<*р[1 -и(3 + Оі1/2
при этом множители перед интегралами в правых частях уравне ний (135) и (136) соответственно равны
(1/2л)Гд,(1 - еТ/2[(2ц - I)2 - V<?2]
./2 (138)
(Если Tn задано уравнением (137), то интегралы (135) и (136), записанные через Tn, дают t и т в секундах. В этом примере с целью сравнения с результатами ньютоновской теории мы отказываемся от принятой до сих пор системы единиц, в которой ^=IhG=I.)
Рассмотрим теперь два специальных случая: случай е = О, когда два корня U1 и U2 совпадают (случай (?) на рис. 4), и случай 2|л (3 + ё) = 1, когда совпадают корни U2 и U3 (случай (у) на рис. 4).
(а) Случай е = 0. В этом случае орбита представляет собой окружность радиуса гс, причем
rc = /, ц = Af/гс. (139)
Уравнения (121) и (123), связывающие орбитальный момент L и энергию E орбиты с параметрами орбиты е и /, теперь дают
1/L2 = (1 - 3Af/rc)/rcAf, {EjLf = (2M/rc - l)2/rcAf, (140)
Переписывая первое из этих уравнений в виде
rl-{L2IM) гс± 3L2-0, (141)
заключаем (это очевидно из рис. 5), что радиус орбиты с нулевым эксцентриситетом есть один из корней этого квадратного уравнения:
rc = (L2/2M) [1:+:(1- 12M2/L2p], (142)
и, кроме того, круговые орбиты невозможны при
1/Af < 21/3". (143)
При минимально возможном значении LlM = 2 У 3
rc = 6Af, ?2 = 8/9. (144)
Ясно, что больший из двух корней уравнения (142) (при LlM > 2 j/З) соответствует точке минимума кривой потенциальной энергии T (г), которая была определена уравнением (113), а меньший корень соответствует максимуму этой кривой. Таким образом, круговая орбита с большим радиусом устойчива, а кру-
116
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
говая орбита с меньшим радиусом неустойчива. Радиусы орбит обоих классов могут изменяться в следующих пределах:
6М < гс < оо (устойчивая орбита),
(144')
ЗМ <: гс <: 6УИ (неустойчивая орбита). 4
Из двух орбит с нулевым эксцентриситетом, разрешенных при LlM > 2 у 3, в число орбит первого рода (которые мы сейчас рассматриваем) включаются лишь устойчивые орбиты с большим радиусом (меньшим и).
Периоды одного полного оборота для этих круговых орбит, измеренные в собственном и координатном времени, равны (см. уравнения (136)-(138))
