Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
ry LX^j
Учитывая (2.17) и соотношения r± +Г2 = —Г1Г2 = "irr? найдем для
П
гамильтониана:
H=--
2 (h + Iip + Ii,)2
(Ie + Itp + Ii,)2 2R2
(2.21)
Как и в случае пространства
гамильтониан зависит только от
дн
суммы Ig + Iip + 1ф, TO есть частоты Wj = Т^Г, І = соответ-
Oli
ствующие переменным Ig, Itp, Іф совпадают. Это случай полного вырождения — все трехмерные торы Лиувилля—Арнольда расслоены на одномерные.
Введем переменные L, G, Н, I, g, h, аналогичные переменным Де-лонэ в классической небесной механике [36], по формулам:
L — Ie + Iv + Iф, G — Itp + 1ф, H — 1ф, I = we, g = и)ф - we, h = -Шф - Wtp.
В новых переменных гамильтониан запишется в виде
2 L2 2 R2
из (2.23) и (2.22) получаем
(2.22)
(2.23)
L =
-Ef1+ ^/Ey12 ±1/R2'
G = аа
H =
(Хф. § 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
201
Из (2.22) следует, что все переменные Делоне кроме /, являются интегралами движения. Угол I является аналогом средней аномалии ? в небесной механике [4] и меняется равномерно с течением времени I = ^(і-т). Здесь г — момент прохождения точки через перицентр, T — период обращения по орбите, который, согласно (2.23) зависит только от энергии H = E, выражающейся через угловую длину большой оси орбиты а по формуле E = — •y/Rtga (E = — 7/.Z?,tha).
Переменные Делоне могут быть выражены через параметры орбиты, аналогично плоскому случаю [36]. Выберем угловые константы g,h таким образом, чтобы они были образом параметра перицентра и долготы восходящего узла при гномонической проекции. Обозначим их через w и І2. Введем аналог наклонения орбиты г как угол между осью qi и вектором L.
Выразим переменные L, G, Н, I, g, h через элементы орбиты р, е, і, т, lu, І2:
В случае пространства Лобачевского L = л/jRth(a/2).
§ 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
В этом параграфе рассмотрены аналоги основных интегрируемых задач классической небесной механики в пространствах постоянной кривизны [270, 113].
1. Обобщенная задача двух ньютоновских центров (задача Эйлера).
1.1. Случай трехмерной сферы S3. Рассмотрим движение частицы на S3, задаваемой уравнением qo2 + q2 = 1, в поле двух центров,
± Я/7 ± у/h2/72 ± 1 /r-H2 /72 ±1/R2
'2
L = V/7?tg(«/2), I = С, G = sfjp, g = ш,
H = у/трс.ояг, h = fi.
(2.24) 202 Глава 2
расположенных в точках (?, а, 0, 0), (?, — а,0, 0), причем а2 + ?2 = 1. (Для случая S2 интегрируемость этой задачи доказана в [270].) Потенциальная энергия частицы в этом случае равна [270]
U = 71 ctg в1 +T2Ctgfl2, (3.1)
здесь Aj угол между радиус-вектором частицы и радиус-вектором «-того центра.
Перейдем от переменных q°, q к новым переменным по формулам
q° = у, q1 = х, q2 = z cosf, q3 = z siii^.
Нетрудно проверить, что координата f циклическая. Исключение ее по методу Рауса приводит к задаче о движении частицы по двумерной сфере X2 + у2 + Z2 = 1 в силовом поле с приведенным потенциалом.
Функция Рауса частицы имеет вид
R=I (і2 + у2 + Z2) - и„
2
где приведенный потенциал
Um = -J1 ctg01 - 72 ctgO2 + ^, (3.2)
здесь M — обобщенный импульс (циклический интеграл), соответствующий координате f.
Следуя [270], введем сфероконические координаты щ, как корпи уравнения
/н = + + Z = (™-Є)(™ + >п2)
w - а2 w + ?2 w w{w - a2)(w + ?2)
здесь 0 < ?2 < а2, 0 < г/ < ?2. Отсюда легко выразить x,y,z, находя вычеты функции f(w) в точках a2,—?2,0 и извлекая корни:
у/{ді-Є)(а2+у2) X = sgn(a;)---,
, -«.(,і ^2+у- "'і. м
г=
a?' § 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
203
Для учета знака 2 полагаем —а. < ? < а, 0 < г/ < /3, а функция Sgn используется для того, чтобы учесть знаки х.у в каждой из четырех областей сферы S2: (х > 0, у > 0), (ж < 0, у > 0), (ж > 0, у < 0), (х < 0, у < 0).
Функция Гамильтона в новых переменных
„_1 ((а2 - e)(?2 + Є) п 2 (а2 + V2)(?2 - V2) п Л
Н - 2 [--+-^f-J + U*¦ (3'5)
Приведенный потенциал (3.2) можно представить в виде sgn(y) (71 +72) V(^eWTF)
U* =
е + г]2
sgn(aQ fa - 72) У (а2 + г/2 )(/32 - у2) M2 а2 ?2 (С2 +У~2) Є+У2 + Щ2+у2)
(3.6)
Таким образом, переменные разделяются, гамильтониан (3.5) принадлежит к лиувиллевому типу и, следовательно, задача интегрируема.
Замечание 1. Задача Эйлера на трехмерной сфере допускает также алгебраическое представление с нелинейной скобкой Пуассона (1.10) (§5 гл. 5). Чтобы показать это, представим потенциальную энергию (3.1) в виде
U = Ufaq1) = -71-+ -_ _72-/fro-ttg!-^^
(l-(?q0+aqi)2)1/2 (l — (?uo — aqi)2)1
Отсюда следует, что с учетом замены (q —> А) система допускает интеграл (5.5) (§5 гл. 2), и, следовательно, может быть редуцирована на алгеб-py/(K,s) (5.10) (§5гл! 2).
1.2. Задача двух центров на L3. Аналогично рассмотрим задачу о движении частицы в поле двух центров в пространстве Лобачевского L3, которое зададим как верхнюю полу гиперболоида (q0)2 — q2 = 1 в четырехмерном пространстве Мипковского M4. Движением в L3 можно добиться, чтобы притягивающие центры располагались в точках г\ = = (/3,а,0,0), i*2 = (/З, —а, 0,0), причем /З2 — а2 = 1. Потенциальная энергия частицы имеет вид
