Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
H = i(l + Ciz4) [w2 + tt(w,z)2z2] +hz2. (2.9)
При этом гамильтониан гармонического осциллятора на S2 (его потенциал V = к tg2 в) имеет форму
h= |(1+qz2) |w2+a(w,zrj + fez2. (2.10)
При A = a = 0, переход от (2.8) к (2.10) соответствует регуляризу-ющему преобразованию Болина и связывает задачу Кеплера с гармоническим осциллятором. При A^O потенциал (2.9) не совпадает с (2.10), но имеет осцилляторный тип с тем отличием, что кривизна в (2.9) в отличие от (2.10) изменяется по закону a(z2 + Z2).
Аналогичным образом не могут быть так просто интерпретированы для искривленного пространства регуляризация Мозера [4, 137] § 2. Задача Кеплера
197
и .Й'б'-преобразование [168] (см. §4). После перехода к декартовым координатам при помощи гномоиической проекции и замене времени на уровне энергии, регуляризация уравнений задачи Кеплера будет достигнута, однако, с помощью этих преобразований мы пс получим геодезический поток на сфере [137] или четырехмерный осциллятор [168]. Возможно, что этот способ не является самым удачным для регуляризации, но к сожалению, эта и другие постановки задачи совсем не изучены.
3. Бифуркационная диаграмма задачи Кеплера. Рассмотрим систему (2.1) па инвариантной поверхности, определяемой векторным интегралом L = const (1.7). Для S3 эта поверхность совпадает с двумерной сферой S2, а для L3 — с плоскостью Лобачевского L2.
В стандартных сферических (псевдосферических) координатах после редукции Рауса задача Кеплера приводится к системе с одной степенью свободы
JiCtgd, па Ss К
— уг cth в, на L3, К
(2.11)
где av = pv = i?2y>sin20 {av = pv = В2ф sh2 0) — квадрат вектора момента L2 = const.
Исследуем топологические перестройки областей возможного движения (ОВД) в зависимости от постоянной энергии H = E и момента OLtp.
Произведем в (2.11) замену г = RtgO (/• = .Rthfl), тогда ОВД при фиксированных h и Ottp определяются неравенством
(2Л2)
Следовательно, построение бифуркационных диаграмм (см. рис. 5) сводится к исследованию квадратного уравнения
а2
hr2 + 7Г — = 0; (2.13) 198
Глава 2
\ а, І
I I I
J III J III J III
-—-"II -—"II -—""II
E E E
Рис. 5
где h = E + а2„ —-. Бифуркационное 2 Н. множество (то есть множество зна-
чений (E, av) при которых области возможного движения меняют свой
топологический тип) состоит из кривых
11-.E = ±2R2a2
тр mT , ~ р2 2 72 -E = ± 2R Oilp.
LOLip
Если оба корня г\ и г2 уравнения (2.13) — комплексные (область I на рис. 5), то движение невозможно. Если оба корня — вещественные и положительные (II), то допустимые значения г определяются неравенствами Г і S^ Г ^ Г2- Это соответствует движению B кольце O1 ^ в ^ 02, причем для S2 0 < < Если меньший из корней, (гі) — от-
рицателен (III), то для реальных движений на плоскости Лобачевского Г2 ^ г, а на сфере Г2 ^ г, г ^ г і, поскольку значениям в от ^ до 7г
соответствует отрицательные г. Это означает, что на L2 движение происходит во внешности круга в = 02-, а на S2 — в кольце ві SC в ^ но теперь 0 < O1 < I < в2 < тт.
4. Переменные действие—угол и аналог элементов Делоне.
Запишем гамильтониан системы (2.1) в сферических координатах (2.2)
H =
2 R2
Pe +
Sin2 в
P2v +
РІ sin2 ip
ctg 0. (2.14)
Переменные разделяются по Лиувиллю, причем выполняются соотношения
= Pth 1
2 2 % =Pv +
• 2 ' sin ip
E =
2R2 V^+ sin2 в
-Jctg*,
(2.15) § 2. Задача Кеплера 199
где а.ф имеет смысл проекции момента L на ось qi, o.v — квадрат момента L2, E постоянная энергии. (Для плоскости Лобачевского все тригонометрические функции от в нужно заменить на гиперболические).
Переменные действия вводятся по формулам [2]
I,
ч>
<Ь р.ф <1ф. 1V = ^ f Pv dlP-. 1D = f PD (W> (2'16)
где интегрирование ведется по полному циклу изменения координат. Так как рф = const, то для первого из интегралов (2.16) получаем
1ф = Рф = аф.
Кинетическая энергия в сферических координатах па S3 имеет вид T = т^(рвв + Ррф + Рф'ф), а в координатах на сфере S2, в которой лежит
орбита, T = рев + (IipV), где v — истинная аномалия, то есть азимутальный угол на инвариантной поверхности S2. Приравнивая эти два выражения, получаем pvdip = a^dv — ^dif). Координаты и и ф за один оборот по орбите изменяются на 27г, поэтому после интегрирования получим
Iv = av - I^. (2.17)
Для вычисления третьего интеграла (2.16) произведем замену г = = Rtg 6 (г = RthO) и воспользуемся уравнением орбиты r{v) [4]
Г =T-1-' (2Л8)
1 + є cos v 4
<4 й L H,
где р = — — параметр орбиты, с = Wl H--г-h — эксцентриситет.
7 Vt
Находим
л/^ш 'І Vir - r0(r2 -r)
ів -
7Г
г і
[ Vir - Г1) Г2 - Г) dr, (2.19)
J r(l ± r /R ) y '
p p
где n = —;-, r2 = 1-•
1 + e 1-е 200
Глава 2
Интегрируя, получаем (h находится из (2.13)):
для S3
(
I9 = \f^2h для L3
rI л/Г2 +R2 +rTisJr21 + R2 ^2(^/(г2 + R2) (rf + R2) +R2 + nr2;
\
- VrIr2
(2.20)
h =
(y/{R + n)(R + r2) - y/(R - n)(R - r2) - 2v^Ir2).
