Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Сферу s3 (псевдосферу l3) будем описывать избыточными координатами четырехмерного евклидова пространства M4 (пространства Мин-ковского M4) с метрикой g = diag(l, 1,1,1) (g = diag(—1,1,1,1)), ограниченную условием связи:
Чч) = IiSl^qv T R2) = q) T R2) = 0, (1.1)
здесь и в последующих формулах верхний знак отвечает сфере, а нижний знак псевдосфере. Метрика соответствующего пространства вложения индуцирует на сфере s3 метрику сферы, а на псевдосфере l3 метрику Лобачевского.
Движение свободной частицы в избыточных координатах описывается функцией Лагранжа
L = IgllJfq"
и условием связи (1.1). Перейдем к избыточному гамильтонову формализму систем со связями [4]. Импульсы, канонически сопряженные § 1. Движение нерелятивистской частицы 187
избыточным переменным q?, имеют вид
'"-W + kW- <1Л>
Множитель Лагранжа Л определяется из условия связи (1.1):
Л = -H- (1.3)
Vh ч)
После преобразования Лежандра получим функцию Гамильтона свободной частицы в виде
Уравнения движения в переменных q,p канонические.
2. Алгебраическое представление. Для представления системы в гамильтоновой форме со скобкой Ли—Пуассона рассмотрим компоненты антисимметричного тензора углового момента частицы
Mliv = gtiaqap„ - guOlQaPtI- (1-5)
Компоненты этого тензора образуют алгебру so(4) для S3 (so(3,1) для L3) относительно стандартной скобки Пуассона {qa.,P?} = S?
[Mtlil,, Mpa] = gl4,Mva - g,lrrM„p + g„*Mlip - gvpM^. (1.6) Введем новые генераторы алгебры so(4) (so(3,1)) по формулам
^ м,. i .lj = u a ul.
i,j,k = 1,2,3, (1.7) 7Ті = Moi, (тг = ±<7°р - p0q),
Li = -SijkMjk, (L = q x р),
здесь и далее греческие индексы принимают значения 0,1,2,3, а латинские — 1, 2.3.
Скобки Пуассона между ними имеют вид
[LijLj] = SijkLk, {7rj,7Tj} = ±sijkLk, [Li, fKj] = sijknk. (1.8) 188 Глава 2
Если на частицу действует также потенциальное V(q?), то гамильтониан системы может быть представлен в виде [55]
Н = W2^ ± L2) + V{q?) = + УЮ- (L9)
Коммутируя генераторы вращений (1.7) с q1', получим десятимерную алгебру, являющуюся полупрямой суммой алгебры вращений и четырехмерной алгебры трансляций.
{Li, Lj] = SijkLk, {Li, TVj) = Sijk^ki I7rJT7rJ') = +^ijkLk,
{Li,q°) = 0, {Li,qj) = sijkqk, (1.10)
{Ki, q° } = ql, { к і, Qj } = TQ0 oij-
Алгебра (1.10) представляет собой алгебру Ли группы движений пространства Евклида — е(4) (Минковского — е(3.1) ~ so(3,1) ®s IE4). Ее ранг равен восьми. Одна из центральных функций Ф(</) определяется геометрическим соотношением (1.1).
Вторая функция Казимира W2 строится с помощью четырехмерного вектора Паули Любанского [8]:
Wa = \sXllvpq» Mv*, А = ОД, 2,3, (1.11)
где Sxiivp — четырехмерный антисимметричный тензор Леви—Чивита.
Компоненты вектора (1.11) в данном случае могут быть представлены в виде:
W0 = (Lj4), W =-guL + 7Г X q, (1.12)
при этом
W2 = WllWtl = ±(Wo)2 + (W,W). (1.13)
Вычислим коммутационные соотношения вектора Паули—Любанского с образующими алгебры (1.10).
{Wi,<f) = {Wi,qj) = 0, {WU Lj) = SijkWk, {Wi,TTj) = SijW0,
{Weg0} = (W0, ft} = 0, {W0, Lj] = 0, {W0,Wj] = т Wj.
(1.14) § 1. Движение нерелятивистской частицы
189
Из (1.14) следует, что уравнения W1, = 0, ц = 0, 1, 2, 3 задают векторное инвариантное соотношение Wfl = 0, т. е. для любого гамильтониана H
{W„H} Iiy^0 = O
и определяют шестимерное пуассоново подмногообразие.
Отметим, что в евклидовом случае соотношение W2 = 0 задает сингулярный симплектический лист, ранг которого равен шести, так как для е(4) условие W2 = 0 эквивалентно W = 0. Для алгебры Пуанкаре подмногообразие W = 0 представляет собой пересечение двух частей (для одной части Wq > 0, а для другой — Wq < 0) особого сим-плектического листа — W2 = -Wq + W2 = 0, размерность которого равна восьми.
Несложно проверить, используя (1.7), что векторы L,7г связаны соотношением
L = =f-Wxq5 (1.15)
Г
следовательно для частицы в искривленном пространстве справедливы соотношения Wfl = 0, р, = 0,... ,3. Это позволяет представить уравнения динамики частицы на S3(La) в виде ограничения фазового потока гамильтоновой системы (1.9) на инвариантное пуассоново подмногообразие W = 0 алгебры е(4) (е(3,1)).
Гамильтониан (1.9) генерирует фазовый поток:
L = (L,ff}=f xL+f x. + Mxq,
/ \ (1Л6) *> = {д°,Я} = -(q,§g],
q={q,ff| =f xq±f».
Любопытно заметить, что кривизна пространства входит в функцию Гамильтона (1.9) и функцию Казимира (1.11), но не в уравнения (1.16).
Замечание 1. Уравнения (1.16) можно получить из общих уравнений Пуанкаре—Четаева на группе 50(4) при редукции на базу расслоения 50(4) со слоем SO(3) (см. §1 гл. 1). 190
Глава 2
Замечание 2. Если ввести гномонические координаты xi, х2, жз вместо избыточных g°,q, соответствующие двузначному центральному проецированию сферы (псевдосферы) па касательную плоскость к точке ее южного полюса, по формулам
Чі (1.17)
получим алгебру (1.10) в переменных Li, я-;, ж,:
{Li, Lj} = EijkLk, {Li,TTj] = EijkKk, I7rIi7rJ') = ±?i-ikLk,
