Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
ОН \ дірі . ОН , \ дірі
Pi = - я--Ii= я--hZ^A? я '
Oqi Z-J Oqi dpi ^ dpi (ддз)
і = 1, ... , п, j = 1, ... , s.
Неопределенные множители Aj находятся из условия сохранения связей (9.11) потоком системы (9.13):
Фз = Wh Н) + Xl xJilPJ' wi = І = 1, • • • , S- (9.14)
і
Правые части (9.13) могут быть более просто записаны с использованием скобки Дирака
Pi = {Pi, Н}о, lit = {qi: ff}. (9.15)
В зависимости от заданного лагранжиана L при решении уравнений (9.14) могут встретиться различные ситуации.
1) Система (9.13), (9.14) несовместна в любой точке фазового пространства (р, q). В этом случае уравнения (9.13) не допускают решения при произвольных начальных условиях. В качестве примера можно рассмотреть систему с лагранжианом L = q.
2) Система (9.14) имеет единственное решение (det||{(pj, <pj}\\ ф 0) (достаточно единственности на подмногобразии N). При этом подмногообразия N является пуассоновым относительно скобки Дирака, а система (9.13) гамильтонова х = {х, Н}о с функцией Гамильтона (9.12). Для всякой начальной точки на N система (9.15) допускает решение p(t), q(t), причем q(t) удовлетворяет также уравнениям Лагранжа (9.7).
3) Система (9.14) допускает бесконечно много решений Afc(p, </). Это возможно лишь при условии det\\{<?і, tPjjW = 0. В данном случае, гамильтоново описание векторного поля, определяемое системой (9.7) па совместной поверхности уровня (9.11), невозможно. Среди связей необходимо выбрать ірі(х), і = 1, ... , 2к, для 84
Глава 2
которых матрица скобок Пуассона невырождена, а коэффициенты Лi(p, q) і = 1, ... , 2к определяются однозначно. Остальные связи ipj(х) j = 2к, ... , s будут являться интегралами движения получившегося поля, значения которых однозначно находятся из системы (9.9). Решения полученной системы p(t), q(t) при подстановке q(?) также удовлетворяет исходной лагранжевой системе (9.7).
4) Система (9.14) непротиворечива на некотором подмногообразии меньшей размерности, чем на многообразии (9.11). В этом случае появляются дополнительные связи (вторичные связи по Дираку). Рассматривая уже полный набор связей, приходим к одной из ситуаций 2) или 3). В связи с тем, что вторичные связи появляются как условия разрешимости системы (9.14), они не приведут к дополнительным неопределенным множителям Xi и не сказываются на уравнениях движения (9.13).
5. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием. Описанная выше процедура, отличается от классического гамиль-тонова формализма для системы с голономными связями в избыточных переменных [4]. Покажем, что обе эти конструкции приводят к одним и тем же уравнениям движения для позиционных переменных. Выбор того или иного описания различных задач определяется, как правило, дополнительными соображениями.
Рассмотрим лаграпжеву систему в E3
со связью /(q) = 0. (Все результаты могут быть перенесены на случай м™ и нескольких связей).
Уравнения движения (9.16) можно представить в форме
L = - U(q)
(9.16)
(9.17)
В классической схеме избыточного гамильтонова формализма [4] система (9.17) описывается уравнениями Гамильтона § 9. Скобка и редукция Дирака
85
с гамильтонианом H = ^(р х п)2
U(q), где n =
А їді
единичным
вектор нормали к поверхности /(q) = 0. Функция /(q) является первым интегралом уравнений {/, Н} = 0. Канонические импульсы р не касаются поверхности /(q), тем не менее скорости, определяемые соотношениями (9.18) q = р — (p,n)n, направлены по касательной. Дифференцированием q уравнения (9.18) могут быть приведены к виду (9.17).
Выполним теперь преобразование Лежандра к каноническим переменным р, q без учета связи
H= ip2 + f/(q).
Действуя по методу Дирака, дополним связь /(q) сохранения
(9.19) 0, условием ее
/={/,ff}=g(p,q) = (p,|/
= 0.
Для функций /, g всегда выполнено
Чтобы избежать вычисления скобки Дирака, векторное поле на поверхности / = 0, g = 0 найдем с помощью неопределенных множителей ?, V
дН <9/ , dg , df дН df dg dU df
df
(9.20)
где D =
OqiOqj
Из условий равенства нулю производных f.g вдоль решений (9.20) находим V = 0. Полагая ц = А, находим, что система (9.20) также эквивалентна (9.17).
Таким образом, в классическом варианте гамильтонова формализма скобка остается канонической и меняется функция Гамильтона. В подходе Дирака, наоборот, меняется скобка, так что связи становятся 86
Глава 2
функциями Казимира, а гамильтониан остается прежним (без учета связи).
6. Динамика малых масс. В предыдущем разделе была показана возможность применения процедуры Дирака для описания лагранже-вых (или гамильтоновых) динамических систем с голономными связями. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различным способам реализации связей [4].
Так голономная механика получается при надлежащем переходе в потенциальной функции, неголономная механика — в силах вязкого трения (функция Релея). Механика Дирака на физическом уровне может быть интерпретирована как механика малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии некоторые из инерционных характеристик стремятся к нулю. При этом он не затрагивает потенциала и в этом смысле механика Дирака является механикой малых масс. Более подробное обсуждение содержится в § 12 гл. 2, здесь мы ограничимся одним примером.
