Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
F2 = (S5S) = C2, F2 = (М,7) = с2,
F1 = (M5M)-(7,7) = сі, § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела 99
При замене 7 —> єу и предельном переходе ? -у 0 в коммутационных соотношениях (1.9) получается алгебра е(3). Эта процедура носит название контракции (стягивания) алгебр Ли и позволяет установить взаимосвязь между различными интегрируемыми случаями, имеющимися у уравнений (1.5) и (1.9).
Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы (1.9) представлены в таблице 3.
Таблица 3.
Случай Степень Дополнительные
интегрируемости интеграла условия
Шотки 2 -
Стеклов 2 -
Адлер, ван Мербеке 4 -
Богоявленский 4 (М,7) = 0; (К, К) = (S,S)
В таблице 3 не приведены условия па параметры, при которых реализуются интегрируемые случаи, так как они имеют достаточно сложный вид. Их можно найти в [18], где приводятся также различные формы дополнительных интегралов. Случай Шоттки, который указал также явное сведение к квадратурам, обычно связывают с именем Ma-накова, который показал интегрируемость его n-мерного аналога. Как замечено в работе [129], случаи Шоттки и Стеклова [321] после контракции переходят в случаи Клебша и Стеклова для уравнений Кирхгофа. Более того, как показано в [13], эти случаи переводятся друг в друга линейным преобразованием.
Частный случай Богоявленского [18] во многом аналогичен случаю Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа, однако, видимо, ему не изоморфен. Общий случай интегрируемости, найденный Адлером и вап Mcp-беке [177], является до сих пор в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа.
Замечание 7. Интегрируемые случаи, указанные в таблице 3 не все обладают физическим содержанием, так как для уравнений Пуанкаре—Ламба— Жуковского коэффициенты матриц А, В, С не являются произвольными и имеют достаточно ограниченную область изменения.
Замечание 8. На алгебре so(4) можно также рассмотреть уравнения Эйлера—Пуассона, определяемые гамильтонианом (1.7). Нам неизвестно, можно ли придать этим уравнениям механическую интерпретацию, тем не 100
Глава 2
менее для них существует аналог случая Ковалевской, указанный в [104], который также не контрагируется в классический случай Ковалевской и пока еще мало изучен.
5. Многомерные обобщения. Постановка задачи о n-мерных обобщенных уравнениях Эйлера восходит к А. Кэли. Более подробный исторический комментарий по этому поводу содержится в книге [18]. В этом веке интерес к n-мерным обобщениям был возобновлен, начиная с работы В.И.Арнольда [1], которая повлекла за собой серию многочисленных чисто математических исследований, связанных с интегрируемостью уравнений Эйлера на различных (иногда совсем экзотических) алгебрах Ли [152, 156]. Тем не менее, как будет показано в гл. 5, некоторые из этих абстрактных результатов допускают естественную физическую интерпретацию.
Существуют различные многомерные обобщения для уравнений (1.5), (1.9) и указанных случаев интегрируемости. Это обобщение неоднозначно, так как, например, для so(ri) уже не справедливо прямое разложение в прямую сумму полупростых слагаемых и можно отдельно рассматривать обобщения на SO(n) и SO(rri) ® SO(гп). Многомерный аналог случая Лагранжа рассмотрен в [10, 141], случая Ковалевской в [136, 141, 247, 312]. Многомерное обобщение случая Клебша на е(п) приведен Переломовым [135], случая Шоттки Манаковым [18,115]. Одно из возможных обобщений семейств Стеклова—Ляпунова построено в [22]. Многомерные системы взаимодействующих волчков обсуждаются в [137]. Во всех этих работах интегрируемость полученных обобщений доказывается с помощью явного построения L-A пары и анализа полноты набора первых интегралов.
В §§ 9,10 этой главы указанные интегрируемые обобщения построены с помощью единого метода, основанного на анализе согласованных пучков на полупростых алгебрах Ли. Соответствующие пучки порождают представление Лакса Гейзенберга, а в двойственном пространстве определяют бигамильтонову структуру. Использование утверждений § 5 гл. 1 позволяет доказать полноту получившегося семейства ипволютивпых интегралов. Этот метод также даст возможность указать явные формулы, определяющие изоморфизм многомерных систем Клебша и Манакова, а также для семейств Ляпунова—Стеклова.
Отметим, что многомерные аналоги приведенных частных случаев интегрируемости, которые, видимо, следует искать па сингулярных орбитах (ко)алгебр Ли, до сих не получены. § 2. Кватернионное представление уравнений движения
101
§ 2. Кватернионное представление уравнений движения
1. Параметры Родрига—Гамильтона. Как было замечено еще Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов Л = An + zAi + j Аг + А:Аз с единичной нормой Ao+Af+А2+А3 = 1. Они образуют группу Sp(I). которая является универсальной накрывающей группы SO('S) (SO(S) Ri 5^(1)/+1) [61]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига—Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [154]. Проясним геометрический смысл параметров As [108, 154].
