Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Сделаем несколько замечаний относительно описанного алгоритма.
Замечание 2. Вследствие неоднозначности выбора интегралов системы (8.5) можно получить различные пуассоновы структуры (8.O). Наиболее желательно получить структуру Ли—Пуассона. Вообще говоря, для ряда содержательных задач динамических задач это невозможно, и тензорное поле является существенно нелинейным.
Замечание 3. Если указанное понижение ранга производится для уравнений Пуанкаре—Четаева на кокасательном расслоении (см. § 5 гл. 2), а интеграл F
і = {x,F}.
(8.5)
{Zi,Zj} = кф).
(8.6) § 8. Редукции пуассоновых структур
73
линеен по (квази)импульсам и является циклическим, то система уравнений для позиционных переменных q отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае, как правило, редукция может быть проведена конструктивно. На локальном уровне (после ограничения редуцированной еруктуры на симплектический лист) этот процесс соответствует процедуре Рауса исключения циклической координаты. Такой «сложный» путь редукции Рауса в некоторых случаях способен дать более полную информацию о топологическом устройстве приведенной системы и позволяет выбрать для нее наиболее естественные приведенные канонические координаты.
Замечание 4. Если интеграл F{x) не соответствует никакой естественной групповой симметрии (например, интеграл Ковалевской в уравнениях Эйлера—Пуассона, см § 1 гл. 2), то нахождение интегралов системы (8.5) затруднительно (и даже невозможно), и указанный способ не приводит к цели. В этом случае говорят о скрытой симметрии, процедура редукции по которой, как правило, конструктивно не выполнима.
замечание 5. Как для первого, так и для второго варианта нахождения редуцированной системы za, мы переводим имеющиеся первые интегралы га-мильтоновой системы (8.4) в разряд функций Казимира и тем самым понижаем ее ранг (по крайней мере на JVo).
Замечание 6. Последующую операцию ограничения скобки на пуассоновы многообразия структур {•, iJn0, {',-}лгі также можно проводить различными способами. В некоторых случаях здесь также можно добиться упрощения структурного тензора, внося константы, фиксирующие пуассоново многообразие, в гамильтониан (в классической процедуре редукции константы игнорируемых интегралов обязательно входят в гамильтоииап, в лагранже-вом подходе в приведенный потенциал). Для описанной процедуры редукции характерно большое разнообразие приведенных систем, имеющих различные алгебраические представления (в отличие от обычной схемы, где множество приведенных систем параметризуется производящей функцией канонического преобразования).
Замечание 7. Как и в классическом подходе, положениям равновесия редуцированной (приведенной) системы соответствуют периодические решения (стационарные движения) исходной. В некоторых случаях (например, при анализе на устойчивость) их также проще изучать при подходящей алгебра-изации (а не в канонической форме).
Случай наличия у системы набора инволютивных первых интегралов сводится к последовательному применению описанной процедуры к каждому интегралу по отдельности. Однако иногда удобнее воспользоваться следующими соображениями. 74 Глава 2
3. Пусть у системы (8.5) имеется т независимых первых интегралов fi(x), (і = l,....m), образующих некоторую, в общем случае бесконечномерную, алгебру Ли
{/<,/,"} =МЯ- (8-7)
Случай, когда тензорное поле hjj является линейным наиболее часто встречается в приложениях. Он соответствует инвариантности системы относительно некоторой (многопараметрической) группы Ли. Действие группы Ли при этом называется пуассоновским (гамильтоно-вым).
Алгебраическая редукция по симметриям, определяемым системой (8.7), связана с построением набора первых интегралов za, а = = 1,....5 потоков, порожденных гамильтонианами /; ({za, /;} = 0),
• замкнутого относительно скобки Пуассона
{za,z?} = Ja?(z) (8.8)
• и обладающего свойством полноты, в том смысле, что гамильтониан может быть выражен через переменные za, fi.
Локальное существование такого набора следует из теоремы Ли— Картана, которую мы приведем в формулировке [4]. Теорема 10. Пусть набор первых интегралов (8.7) задает отображение /: M —> Mm. Предположим, что точка с Є Rm не является критическим значением отображения f, и в ее окрестности ранг матрицы ||/іа/з|| (8.7) постоянен. Тогда в малой окрестности U С Rm точки с найдутся т независимых функций ц>{ \ U —> R таких, что функции Ф; = Ifi о f: N —> R, N = J-1 (U) удовлетворяют следующим соотношениям:
{ФЬ Ф2} = • • • = {Ф29-1, Ф2д} = 1,
все остальные {Ф^Ф^,} = 0. Число 2q равно рангу матрицы ||/ia,g||.
Из теоремы 1 следует, что ранг скобки (8.8) уменьшится по сравнению с первоначальным по крайней мере па величину ранга тензора (8.7), (то есть число степеней свободы уменьшиться на величину максимального числа инволютивных интегралов от переменных (8.7)), функционально независимых с первоначальными функциями Казимира. § 8. Редукции пуассоновых структур
75
В результате получим редуцированную систему
za = {za:H(z,f)} (8.9)
