Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
3) Если j С {li,...Ik}, і S^ {h,---h}-, то, полагая j = Ip, можно показать, что {хйр,Р fh...ip..dk} = ±Pfi1..jp..jk, и на уровне Pfh...Ik = 0 обращается в ноль.
¦
Замечание 1. Приведенное доказательство инвариантности многообразия Pfil-..ifc = о может быть обобщено для тех алгебр, у которых pn-k не является суммой полных квадратов (например so(n,m)).
Сформулируем еще одно полезное утверждение, доказательство которого можно найти в [204].
Теорема 1. Рассмотрим алгебру uo(d), реализованную антисимметричными матрицами: X Є so(d), Xt + X = 0.
Пусть pd-k — полный набор ее функций Казимира, являющихся коэффициентами характеристического многочлена dot (A' — XI) =
= YPd-kXk.
к
Уравнения
(Р2 = C2
Р2п-2к — С2п-2к [Pfi1^il(X) = 0,
где I = 2к — 2, при d = 2п, и I = 2к — 1, при d = 2п + 1, задают вложение в so(d) следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы S0(d):
1) SO(d)/SO(2k + l) X SO(2)n-k, d = 2n + \,
2) SO(d)/SO(2k) X SO(2)n~k, d = 2n. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления 405
В качестве примера рассмотрим алгебру ,чо(5). Ее элемент X Є «»(5) может быть представлен в виде
X =
Для сокращения записи определим векторы а(аі,й2,аз), b(i>i, b2, b3), с(сі,с2,с3).
В этом случае уравнения Pfi(X) = 0, і = 1, ... . 5 имеют вид
( 0 C3 -C2 а і к
-C3 0 Cl a2 b2
<¦2 -сі 0 a3 h
—dl — «2 -O3 0 d
\ -bi -b2 -b3 -d 0 )
(а, с) = 0, (b, с) = 0, а X b + cd = 0.
(D.3)
U =
U Є Е(п).
Легко видеть, что два скалярных уравнения при d ф 0 следуют из векторного и вместе с уравнением TrX2 = а2 + Ь2 +с2 + d2 = const система (D.3) определяет однопараметрическое семейство 6-мерных вырож-денных орбит вида 50(5)/50(3) х 50(2). Однако для полного описания этого вложения (с учетом d = 0) нужно рассматривать все пять уравнений (D.3).
2. Сингулярные орбиты в(п). Как известно, группа Е(п) = = SO(n) ®s Rn может быть реализована в матричном виде следующим образом:
/ 'k \
SO(n)
dn
\ 0 0 0 1 /
Соответствующая ей алгебра Ли е(п) = so(n) ®s Rn образована матрицами вида
( Vi \
so(n)
Уп
\ 0 0 0 0 у
Элемент из / Є е*(п) представим в виде пары / = (ц,ь>), где ц Є
so*(n) ~ so(n), V Є Rl = Rn¦ Тогда adx{x y)(?,v) = ([ж, р] - ^iJЛи, хТ(и)).
Все орбиты коприсоединенного действия группы Е(п) делятся на орбиты, проходящие через точки с нулевым вектором у (топологически
X 406
Приложение А
устроенные так же как орбиты SO(nj), и орбиты, проходящие через точки с ненулевым у. Для описания явного вложения орбит второго типа в алгебры необходимо изучить структуру функций Казимира, которые описываются следующей леммой.
Лемма 2. Полный набор функций Казимира алгебры е(п) имеет вид:
(X)Vj) , (D.4)
где X Є so*(n) ~ so(n), у Є Rn* = Rn.
Для доказательства достаточно применить метод «контрактирования» инвариантов к функциям Казимира алгебры ,sо(п + 1), определяемым формулой (D.1).
Интересно отметить, что все функции Казимира будут квадратичными по «абелевым» координатам yj.
Из (D.4) следует, что при pn-k = О выполнены равенства E pfii-j-ik(x)yj = Pfii...ik{X,y) = о, im = 1, ... , п и размерность
орбиты падает. Компоненты
Wil......i„(X,y)= E Pfil...j...ill(X)yj=Pfil...ik(X,y)
определяют многомерные аналоги вектора Паули Любанского. Уравнения Wi1......ih(X,y) = О задают Ad*E^-инвариантное подмногообразие
в е*(п).
Справедливо следующее утверждение, доказательство которого также можно найти в [204].
Теорема 2. Рассмотрим алгебру e(d), реализованную матрицами вида
^ У ^j, где X Є so(d), у Є Rd.
Пусть pd-а — функции Казимира для группы E(d), получаемые при помощи контракции из полного набора функций Казимира группы 50(d+l) P(d+ij-a — коэффициентов характеристического многочлена: Сингулярные орбиты коприсоединенного представления 407
Уравнения
>2 = C2
) Vln-lk-2 — Cln-Ik-I
E Pfi1^j-Al(X)yj = о,
IjSj =S и
где I = 2к при Л = 2/л — 1, I = 2к + 1 при Л = 2п, задают вложение в cid) следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы E(d)
1) E(d)/R X S0(2(k + 1)) X 50(2)"-*-2, d = 2п - 1,
2) E(d)/R X S0(2(k + 1) + 1) X 50(2)"-*-2, d = 2п.
При к = п — 2 орбиты имеют вид E(d)/R х S0(d — 1) и являются кокасательными расслоениями T*Sn~1. Эти орбиты являются орбитами минимальной размерности среди «псполупростых» (проходящих через точку с у ф 0) и их вложение описывается только квадратичными функциями: квадратичной функцией Казимира р2 и квадратичными пфаффианами.
3. Алгебра е(4) и ее орбиты. Алгебра Ли е(4) группы движений четырехмерного евклидова Е(4) пространства является полупрямой суммой но (4) ®s Ri и может быть реализована матрицами вида
/ 0 L3 -L2 TTi A1 \
-L3 0 L1 K2 A2
L2 -L1 0 Кз A3
-K1 -ж2 -K3 0 A0
\ 0 0 0 0 0 /
Для десяти ее образующих 7Г = (7гі,7г2,7гз), L = (L1,L2,L3) , А = = (Ai, A2, A3), Ao справедливы коммутационные соотношения (см. [8])
{Li,Lj \ = EijkLk- {Li,ITj} = EijkKk, {7T;,7Tj} = EijkLk,
{Li, Xj} = Sijk^k, {Lj,A0} = 0, {тгі, Ajj = — SijXo, (D.5)
