Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
X0j = х0 + -Kj jn, j = l,...,n, X0 Є К. (Е.З)
Частоты малых колебаний, вычисленные в [214], равны
OJ2s =2 s(n-s), s = I,..., п. (Е.4)
Равенство Uin = 0 связано с неизолированностью равновесий (3).
Рассмотрим простейший нетривиальный случай, когда п = 3. С помощью интеграла момента F можно понизить число степеней свободы на единицу. Для этого перейдем к неинерциальной барицентрической системе отсчета с помощью канонического преобразования х,у —>• q,p:
Уі =Pl+ РЗ, 2/2 = -Pl +Р2+ РЗ, Уз = -Р2 + РЗ, Q1 = X1 - X2, q2 = X2 - X3, q3 = X1 + X2 + X3.
С учетом равенства р3 = 0 и четности потенциала гамильтониан редуцированной системы имеет вид
H=P21- Р1Р2 +P22+ V(q1) + V(Q2) + V(Ql + q2). (Е.5)
Эта система имеет устойчивое равновесие Q1 = q2 = 7г/3 с равными частотами малых колебаний Cu1 = си2 = 2 (согласно (Е.4)). Вычитая из потенциала In \/3/2, можно считать, что в состоянии равновесия полная энергия равна нулю.
Ectcctbciiiio ожидать, что при малых положительных значениях полной энергии h система с потенциалом (Е.2) будет демонстрировать интегрируемое поведение. Ситуация здесь точно такая же, как и в известной системе Хенона—Хейлеса ([248], см. также [120]). Применяя метод нормальных форм с учетом резонанса W1 = ш2, можно найти «квази-иптеграл», который очень медленно меняется со временем в окрестности положения равновесия (для системы Хенона—Хейлеса такую функцию вычислил Густавсоп [244]).
Численные расчеты подтверждают это предположение. На рис. 73 показано почти интегрируемое поведение системы при H = 10. Для Неинтегрируемость системы Дайсона
413
Чі
j
J: / І і VJf,'"v '• \ \ \ V- - IVv1 "• V \ '
/ W-, о M \ I
¦ !1 f
V і Ji ' :,. ; ' :<¦% V/,
с ч
Pi -10
-5
Pi
Рис. 73
Рис. 74
больших H система хаотизируется в окрестности сепаратрис. При этом формальные ряды, определяюшие «квазиинтеграл», расходятся и для больших H он не аппроксимирует поведение системы. Рис. 74 и 75 соответствуют значениям энергии H = 20 и H = 22, при которых начинается реальная стохастизация системы.
-10
I I 1
II I
-5
Рис. 75
К задаче об интегрируемости системы взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсопа можно подойти с более простой точки зрения, считая канонические координаты х, у и время t комплексными переменными. Будем искать первые интегралы в виде полиномов по импульсам с однозначными аналитическими коэффициентами. (Заметим, 414
Приложение А
что ввиду логарифмической особенности потенциала, энергия H ветвится в комплексном фазовом пространстве).
Оказывается, интеграл момента F — единственный полиномиальный интеграл с однозначными коэффициентами в системе Дайсона. Это утверждение доказывается с помощью результатов работы [95].
Действительно, пусть Fj = yj (1 <С j <С га) — полный набор независимых интегралов в задаче о движении частиц по окружности без взаимодействия. Вычислим производные этих функций в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом (1), (2):
п
Fj = Y' афз -хк), 1 ^ j О- (Е.6)
й=1
Подставим теперь в правую часть этих равенств какое-нибудь решение «свободной» системы, например,
Xi = ж/га,... , хп—1 = (га — 1)7г/га, хп = t.
Тогда правые части (6) будут мероморфпыми функциями па плоскости комплексного времени, причем га — 1 точек t = ж/га,... ,t = (га — 1)7г/га будут простыми полюсами. Вычисляя вычеты в этих точках для функции (F)t, нетрудно заметить, что они (как векторы С") линейно независимы. Следовательно, согласно [95], рассматриваемая система может иметь только один однозначный полиномиальный первый интеграл. Приложение F Топологический анализ обобщенной задачи
Чаплыгина
Изучим перестройки поверхностей уровня первых интегралов (§ 6 гл. 2)
Я = \{К2 + K22 + 2КІ) + §(s2 - S21),
К = (.K2 - K2 - CS2) + 4K21K2,
F2 = (s, K)s3 = g
уравнений движения (Q29) §5 гл. 2. Как отмечено в §5,6 гл. 2, эта система может рассматриваться как аналог случая Ковалевской при наличии двух однородных полей и при значении константы интеграла F2 равной нулю сводится к частному случаю интегрируемости Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Этот анализ, по просьбе авторов, был выполнен О.Е.Орел и П.Е.Рябовым [301]. Мы изложим его в несколько укороченном виде.
Рассмотрим сначала случай Чаплыгина (при этом F2 = 0 и алгебра скобок (5.10) является обычной алгеброй е(3)). Симплектический лист задается уравнениями F2 = 0, F1 = (s,s) = 1 и гомеоморфен TS2.
Топологический тип изоэнергетической поверхности Qfl = {Н = h} можно изучать при помощи проекции TS2 па сферу Пуассона S2 = = + S2 + S3 =1} (см. [159]). В данной задаче при этой проекции поверхность Q^1 переходит в некоторую область на сфере Пуассона, выделяемую условием
Ф) ^ h, (F.1)
где tp(s) — функция на сфере Пуассона, заданная формулой
?>(«) = - 4)-
Напомпим, что эта область называется областью возможности движения (ОВД). Для различных значений h ОВД имеет следующий вид: область пуста при h < —1/2, имеет вид двух дисков при —1/2 < h < 0, 416
Приложение А
