Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
II.6.6. Используя библиотечную подпрограмму аппроксимации, написать программу вычисления значения функции ^(д:) в произвольной точке д; с заданной точностью 8.
Задачи и упражнения к главе 7
11.7.1. Привести пример функций /(*), g(x), имеющих в узлах квадратурной формулы совпадающие значения f(xi)=g(xi), точные интегралы которых отличаются на сколь угодно большую величину.
11.7.2. Определить наименьшее из возможных значений шага h интегрирования методом Симпсона на Вашей ЭВМ в арифметике одинарной точности.
17 Ю. П. Боглаев
513
И.7.3. Написать программу вычисления несобственных интегралов вида |°° /(х)с!х, в основу которой следует положить
библиотечную подпрограмму вычисления \А /(х)йх и алгоритм
увеличения предела А с остановом по заданной точности. Провести вычисления для интегралов
И.7.4. Как Л оценить погрешность численного интегрирования в задаче II.7.3?
ІІ.7.5. Определить, какая из библиотечных подпрограмм позволяет максимально далеко продвинуться по со, со-юо, при вычислении интеграла
11.8.1. Показать, что число обусловленности матрицы не изменится, если ее умножить на ненулевую константу.
11.8.2. Определить число обусловленности матрицы А.
11.8.3. Найти Ljy-разложение матрицы А.
11.8.4. Определить погрешность решения системы линейных уравнений Ах = Ь с вектором 6 = (1, 2, 3), компоненты которого заданы с абсолютной погрешностью 0,05: 1) матрица А задана точно;
2) матрица А имеет абсолютную погрешность элементов 0,01. Погрешность вычислений не учитывать.
11.8.5. Решить СЛУ Ах = Ь задачи II.8.4 методом простой итерации, погрешность в евклидовой норме 8 = 10- 2.
11.8.6. Решить- СЛУ Ах^Ъ задачи II.8.4 методом Зейделя, погрешность в евклидовой норме 8 = 10 -2.
?I.8.7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Л, применяя библиотечные подпрограммы. Записать решение ОДУ
о
с заданной относительной точностью 1%.
Задачи и упражнения к главе 8
Задана матрица
4 = Ах-Ъ, jc(0) = 0. dt v '
514
П.8.8. Найти, используя библиотечную подпрограмму, минимум целевой функции
5хх + 2х2 — Зх3+х4
при ограничениях
2хх — х2+х3 + х4<5,
Х1 + х2—х3—х4<2,
5хг — 8 х2 + 2х3 + 4х4 < 3.
Задачи и упражнения к главе 9
П.9.1. В основе активационного анализа состава вещества лежит поиск показателей экспонент аь и коэффициентов сь
минимизирующих невязку
т
|| /(х)- ? с;ехр(а,*)||,
1=1
где /(х)—экспериментально измеренная функция. Вывести систему уравнений, определяющих искомые сь аь если || ||—дискретная среднеквадратичная норма на узлах хр 1<у<л.
И.9.2. Сколько вещественных, комплексных решений имеет система уравнений
х\+х\ — 4 = 0, х\ — х2 + 0,1 8шх2 = 0?
П.9.3. Найти вещественные решения системы уравнений задачи И.9.2. методом простой итерации с абсолютной точностью в=10"3. Уточнить решения (точность 8=10"6) методом Ньютона.
П.9.4. Найти комплексные решения системы уравнений задачи Н.9.2.
И.9.5. Привести задачу Н.9.2 к задаче минимизации целевой функции и решить ее, применяя библиотечную подпрограмму минимизации.
И.9.6. Показать, что метод градиентного спуска минимизации Ф(х1? ..., хп) эквивалентен методу Эйлера для системы ОДУ
^=—gradФ(x), х(0) = х°.
П.9.7. Показать, что целевые функции Ф (х), поверхности уровней которых имеют вид сильно вытянутых эллипсоидов, приводят к жестким системам ОДУ (см. гл. 10) в задаче Н.9.6.
Задачи и упражнения к главе 10
Задачи II.10.1—II.10.5 входят в типичный пакет тестов программ интегрирования задачи Коши для ОДУ. Требуется проинтегрировать уравнение или систему с заданной относительной локальной точностью 5=10"2, 10-4 на интервале 0<х^20 двумя библиотечными подпрограммами, дополнив их просчетом числа () вычисле-
17*
515
ний правых частей уравнений на всем интервале интегрирования. Сравнить эффективность подпрограмм по числу ().
11.10.1. Одно уравнение
3) У^усовх, у(0)=1;
4) У' =(у-х)1(у + х) у (0) = 4;
5)/=(у/4)(1-у/20). 7(0)= 1.
II. 10.2. Система малой размерности 7?>)=1,
\у'2=-Ьг-У1У2)> 7!г0) = 3
(рост двух враждующих популяций); \
2) [71 =-71+72, 71(0) = 2,
{ У'г = У1 ~ 27г +У.з, У2 (0) = 0,
(?7з =7г -Уз, З'з(0)=1
(линейная химическая реакция);
3) (У\=-УиУ1(0)=и <У2=У1-У2, 7г(0) = 0,
(73=72, 7з(°) = 0
(нелинейная химическая реакция);
4) У1 = ~У2+У1Уз/(У1+У2)1/2, 71 (0) = 3,
/2=71->,27з/(>’1+>’2)1/2, 7г(0) = 0, 7з=71/(.И+72)1/2, 7з(°) = ° (интегральная поверхность тора);
1)7'=-7, 7(0)= 1;
2) 7'= —у , 7(0)= 1;
5) у\=У2Уъ> У1 (0) = 0,
72= -71^3, >,2(0)= 1,
7з=-0,517172,7з(0)=1.
(эйлеровы уравнения движения твердого тела). П.10.3. Система умеренной размерности
У1 = У 2 =
У 51 =
1
-2
-2
1
II. 10.4. Уравнение орбиты
516
\
Л ?>
У1 1
7.2 ; 7(0)= 0
751 0
\
У1=Уз> ^i(0)=l-e,
У 2= У 4, У2 (0) = 0,
У'з=-У11(У1+У2)312, Уз (0) = 0,
У4= -У2/(У1 +ylY'2, J4(0) = (l +e)ll2/(l-e)112, е = 0,1 — эксцентриситет орбиты.
II. 10.5. Уравнение второго порядка, приведенное к системе
У\=Уг, Ji(0) = 2,
У2 = (1-У1)у2-Уи У2(0) = 0
(уравнение Ван дер Поля, описывающее процессы в электронных схемах).
II.10.6. Для систем уравнений задач II. 10.2—II. 10.3 поставить краевые задачи, которые решить численно, используя библиотечные подпрограммы, с точностью 5=10-2.
