Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ ТОЧКИ МИНИМУМА X И ЗНАЧЕНИЯ F(X),
ИНДЕКСА ОШИБОК WRITE (5,1) X,R,I
FORMAT (2Х/Х = ',Е13.6,'F(X)=El3.6,'I=', 12)
END
ПОДПРОГРАММА, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
SUBROUTINE F(X1,F1)
REAL XI,FI F1=X1*X1+EXP(X1)
RETURN
END
\
л,
Глава 10
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
• 10.1. Дискретизация
10.1.1. Введение. В этой главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, наиболее общий вид которых-^ система дифференциальных уравнений
определенная на интервале а^х^Ь. Если дополнительные условия для однозначного нахождения решений уДх) задаются в одной точке (для определенности х = а) интервала [а, Ь\ то это задача Коши, если в нескольких (двух краевых точках интервала [а, Ь ] (.х — а, х = Ь)), то это краевая задача.
Далее задачи для дифференциальных уравнений (Коши, краевые) делятся на два класса: линейные и нелинейные.
Линейная задача определяется линейными дифференциальными уравнениями и линейными дополнительными условиями. Постановка нелинейной задачи содержит либо нелинейное уравнение, либо нелинейное условие, либо то и другое.
Всюду ниже предполагается, что решение поставленной задачи у(х) для (10.1.1) существует и единственно.
В гл. 5 были описаны некоторые аналитические методы решения задач для (10.1.1), конечная цель которых—получение явной формулы точного решения у (л:). Заметим, что решение у (х), вообще говоря, является элементом бесконечномерного пространства; для непрерывных по своим аргументам правых частей /Дд;, у), например, у(х)€ еС1 [а, 6]. В реализации численных методов имеют дело только с элементами конечномерных пространств, поэтому необходимо перейти от систем уравнений (10.1.1) к системам алгебраических уравнений, в которых неизвестными являются векторы конечной размерности,—произвести дискретизацию исходной задачи.
Дискретизация линейных задач приводит к системам линейных алгебраических уравнений (см. гл. 8), нелинейных—к системам нелинейных алгебраических уравнений (см. гл. 9).
10.1.2. Этапы дискретизации. Для простоты изложения будем рассматривать одно уравнение
(10.1.1)
(10.1.2)
375
Рис. 10.1
с начальным условием
>>(я)=/0). (10.1.3)
Пусть решение задачи
(10.1.2), (10.1.3) у(х)е
е?=С1\а, Ь].
Первый этап дискретизации состоит в переходе к конечномерному пространству функций Ут, которое приближает любой элемент пространства решений С1 [я, 6] тем точнее, чем больше размерность т конечномерного пространства.
Например, пространством Ут может быть: 1) пространство полиномов (т — 1)-й степени
Ут(х)={а0+а1х+...+ат-1хт-1}.
Выбирая коэффициенты аь можно по теореме Вейерштрасса при т-+ оо сколь угодно точно приблизить любую непрерывную функцию у(х);
2) пространство кусочно-постоянных функций
Ут(х) =
ах, х0<х<л:1, х0 = а, а2, хх<х^х2,
«и. Хт-1<Х<Хт, Хт = Ь.
При т-+оо длина частичного интервала стремится к нулю и выбором а{ можно аппроксимировать непрерывную функцию у(х) как угодно точно (рис. 10.1);
3) пространство параболических сплайнов (см. гл. 6)
ЗД=й+1(х(),
Размерность пространства М определяется числом свободных параметров, при фиксированном т оно равно М=Зт—2(т—\)— — тЛ-2.
Второй этап состоит в замене исходной задачи (10.1.2), (10.1.3) для функции з'(х) другой задачей, «близкой» для функции у(х), но уже поставленной для ут(х). Фактически это задача нахождения чисел аь определяющих элемент Ут. Различные численные методы решения дифференциальных уравнений отличаются именно этими двумя этапами дискретизации.
Третий этап—решение полученной системы линейных или нелинейных алгебраических уравнений, т. е. определение чисел а{ или, что то же самое, элемента
376
к
Четвертый этап—восстановление по элементу ут(х) «близкой» функции у(л:), принадлежащей У. Функцию у (х) называют приближенным решением исходной задачи.
Пятый этап — оценка погрешности приближенного решения у в норме У, т. е. оценка нормы
II Я*)-Я*) IIГ-
Четвертый и пятый этапы часто заменяют следующими: определение проекции решения у{х) на Ут — определение у(х)еУт. Затем производится оценка погрешности
Н-УтМ-УМИг Л
т
в норме Ут.
10.1.3 Примеры дискретизации. 1) Рассмотрим задачу (10.1.2),
(10.1.3) в предположении, что
а =0, >>(О)=0,
/(*, у)=Мх)+Мх)у, где функции /{(х) являются полиномом не выше к-и степени;
А{х)=Ао+А1х + ••• +/»,***> 1-
Проведем дискретизацию с помощью пространства полиномов, т. е.
Уи+Л* )=Яо+<*!*+ ... +атхт. (10.1.4)
Для того чтобы получить систему уравнений, определяющую аь подставим (10.1.4) в (10.1.2), (10.1.3) и приравняем в левой и правой частях равенств коэффициенты при одинаковых степенях х. Из
(10.1.3) определяем
ао = 0. (10.1.5)
Из (10.1.2) находим
а1+2а2х + За3х2+ ... +татхт~1=/0<0+/0лх+ ... +/<>,***+ +(/1,0+/1,1* + ... +Л ,кхк)(а1х+а2х2+ ... +атхт).
Отсюда получаем соотношения для коэффициентов а{ полинома:
а1 =/о,о>
а2 — 2 (/о, 1 +Л ,о а1 )>
«3 = 5 (/о,2 +Л .О «2 +Л.1 <*1), (10.1.6)
й'т = “(/о,т-1+/1,0Дт-1+/1.1 ат-2+ - +А,т-2а1)-
Уравнения (10.1.5), (10.1.6) и есть дискретная задача—система
уравнений для а{. Из вида этой системы следует, что для любого
