Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
377
т числа а{ могут быть последовательно определены. Причем если т — 2>к, то общая формула для ат(м>к + 2) следующая:
am= — {fl,Oam-l+fl,l ат-2+ — +/l,fc ат-к~ 1 )•
Пусть для примера
/о(*)=1-*> /,(*)= 1+*.
Тогда соотношения (10.1.5), (10.1.6) принимают вид
1/ 2
. «о = 0, «1 = 1, «2=1, а3=-(1 + 1)=-,
•;1 1/, 2\ 5 1/2 5 \ 13
а4-4\ +з/ 12’ Я5—5^3"*" 12J~60’
1 / \
*«™=-(«т-1+йт-2)-
Из последнего равенства находим оценку
^ 2 2 3
°т m«m~2’ m=3’4’-’
Откуда получаем
а2*ф -2-4 ... {2k)~lo} k = l’2,
2к
«2* + 1<l-3-5...(21t + l)’ А: = 1>2, ....
Эти оценки показывают, что последовательность при т->оо
равномерно сходится для любого 6 в интервале 0<х к точному
решению исходной * задачи Коши.
Четвертый этап дискретизации в данной задаче тривиален, можно положить
у{х)=Ут(х).
Оценка погрешности у(х) выполняется следующим образом. Вводим функцию
e(*) = j(*)-jm(x).
Для функции e(x) получаем сходящийся ряд
00
ф)= ? акхк,
к = т + 1
где ак определяются формулами (10.1.6). Абсолютная погрешность в равномерной норме С [0, b ] равна
е= max |ф)|= ? akbk< ?
к=т + 1 fc=m + l К ’
2) Рассмотрим ту же задачу с а= 0, j(0)=l, но в качестве пространства Ym возьмем пространство кусочно-постоянных фун-
378 ч,
кций. Поскольку в точках разрыва у функций ут(х) не существует производной, перейдем от задачи (10.1.2), (10.1.3) к эквивалентному интегральному уравнению
yix)= i+J (ю.1.7)
О
Подставляя функцию ут(х) в (10.1.7), получаем систему соотношений
х
al = 1+J [/оМ+Л^К]*’ OCXS?*!,
® х
«2=«1+ I хх <х
*1
ат=ат-1+ | |/о(5)+/1(5)ат]Л, хт_^<х^Ь.
хт - I
Эти соотношения противоречивы, поскольку слева в равенствах — константы, а справа—функции. Если \х{ — х1-1\ достаточно малы, то можно эту систему соотношений заменить «близкой», но такой, что полученная система однозначно будет определять а{. Положим
«1=1+1 ШЛ+Л^’К]*.
о
х2
«2 = «1+ I [/оИ+ЛИяг]*,
*1
т
= 1 [/оИ+Л^К]^'
Хт— 1
Отсюда определяются последовательно все а{. Действительно,
1 + fЛЛ*
а1 =—^-------,
1 -/ли*
о
х2
«1+ ШЛ*
а2= %--------,
!— X
am-i+ J /о(*Ц
I —___________хт~1___________
т хт
!- 1 fi(n)ds
хт - 1
379
Интегралы здесь можно вычислить с помощью квадратурных формул. Положим /о(х) = 0, h=xi — xi_1, f1(x) = X = const. Тогда при условии, что |АА|<1, получаем явную формулу
‘?'-fW' u'<m'
Заметим, что h —хт/т, отсюда
<1ол'8)
Точное решение исходной задачи в данном случае
-.1 у{х) = еХх.
Заметим, что при т-юэ в точке х=Ь из (10.1.8) следует существование .предела, равного
еи= lim (1 —— тп ? оо \ m
совпадающего со значением точного решения в точке х = Ь.
Определим кусочно-постоянную функцию у (х) по точному решению
у(л:) = екх*, xi_1<x ^xh 1^/<га.
Погрешность Ym(x) в равномерной норме равна
шах
l^k^m
10.1.4. Дискретизация по формулам численного дифференцирования. Дискретизация упрощается, если ограничиться поиском решений дифференциальных уравнений в конечном числе точек интервала [я, Ь\
1) Разобьем интервал [а, b ] точками х{ с постоянным шагом h=xi-xi_1 (1</<jh), х0 = а, xm = b.
2) Точное решение у(х) дифференциального уравнения
в точках х{ принимает значения
у(х{),
а дифференциальное уравнение приводит к равенствам
?(*,)==/(*.•>-К*;))- (10Л-9)
Если в формуле (10.1.9) значение производной
\
380 4 -
V
к 1 1 Я\' 1 Л-Л
V / V ч
заменить на «близкое» выражение, которое определяется через у(х(), то получим систему т уравнений с т неизвестными, являющуюся дискретной задачей, которая соответствует исходной задаче.
Например, можно положить (см. ниже формулы численного дифференцирования)
Тогда уравнение (10.1.9) принимает вид
у(х1 + 1)-у (*,-) = Л/ (х;, у (х,)) -У О (к 2).
Отбрасывая слагаемое О (к2), получаем «близкое» уравнение
У1+1~У1 = ?(х1,у1)- (10.1.10)
Здесь у{—точное решение дискретной задачи (10.1.10). Пусть найден вектор уь 0^1'^т. Это и есть приближенные значения для величин (рис. 10.2).
Множество точек хь 0</<т, называют сеткой, х{—узлами сетки, Н—шагом сетки. Уравнение (10.1.10)—это разностное уравнение или разностная схема.
Для оценки погрешности вводится норма вектора у = (уь 0^/^га), которая называется сеточной нормой, например: равномерная норма
1Ы1= тах \у(\9 среднеквадратичная норма
/ т \ 1/2
II7II = (.!>?) •
Ниже рассматривается только равномерная норма. Погрешность решения дискретной задачи задается величиной
IIЛ—Я*;) II-
10.1.5. Формулы численного дифференцирования. Пусть л:—любой из узлов х( интервала [а, Ь]. Тогда другие узлы могут быть вычислены по формулам
х+кК к = 0, ±1, ±2, ... (10.1.11)
Приближенное вычисление производной функции }>(.*)
&у
в узле л: по значениям функции в узлах у(х+кк) называется численным дифференцированием.
Предположим, что у(х)еС2[а, Ь], х<Ь. Разложим у(х+Н) в ряд Тейлора до членов второго порядка. Имеем
у (л; + к)=у (х)+^ (л:) к + О (к2).
Отсюда находим, что
*Ы-*±±2М+0(1).
Учитывая, что л:—это узел хь получаем двухточечную формулу для первой производной—дифференцирование вперед:
. ?М_Лф^+0(*), (10.1.12)
‘ ах к
Обычно под формулой численного дифференцирования понимают приближенное равенство
