Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
х= lim х<*>.
к -юо
Можно показать, что сжимающее отображение ф(х) является непрерывным. Тогда, переходя в (9.2.5) к пределу, получим, что предел х%— решение ургшнения (9.2.2). Таким образом, существование решения доказано.
Единственность решения докажем от противного. Предположим, что существует два решения х и х, т. е.
% * ** х = ф(х), х = ф(х),
Х 351
при ЭТОМ II X — X II 7*0.
С одной стороны, имеем
Нф(*)-ф(*)П = И*-*П-
С другой стороны, в силу сжимаемости ср(х)
||ф(х)-ф(х)|| <а||х-1||.
Из последних двух соотношений находим
||х-х|| < а ||х —х ||,
что
при
значениях
0<ос<1 и ||х—х || т^О невозможно. Теорема доказана полностью. Для иллюстрации теоремы рассмотрим два примера.
1) Уравнеьре
x=0,lsinx
имеет в качестве ср(х) сжимающее Е1 в себя отображение
ф(х) = 0,1 sinx.
Единственное решение этого уравнения х=0 получается как предел последовательности {x(fc)} с любым начальным значением х(0): x(k+1) = 0,l sinx(fc), к=0, 1, 2, ....
Пусть
х(О) = 1,0,
х(1) = 0,1 sinl,0, х(2) = 0,1 sin(0,1 sin 1,0), ....
Ход итерационного процесса изображен на рис. 9.8.
2) Уравнение
я . х=-sinx 2
имеет в качестве ф(х) несжимающее в Е1 отображение ф(х) = я/2 sinx. Это уравнение имеет три решения: х=0, я/2, —я/2 в Е1 (рис. 9.9). Причем, как бы ни было близко к нулю начальное приближение х(0), последовательные приближения не сходятся к корню х=0. Если х(О)>0, то lim х(к)=п/2, если х(О)<0, то lim х{к)= —л/2 (рис. 9.9).
к-* оо к-* со
352
V
Последний пример показывает, что сходимость последовательных приближений метода простых итераций к решению может быть и тогда, когда ф(х)—несжимающее отображение во' всем пространстве Еп. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 9.3. Пусть ф(х)—сжимающее отображение шара 5 пространства Еп:
||л*-*(0)||
Пусть, также
|| ф(х(0)) —х(0) || ^(1-а)г. (9.2.7)
Тогда в шаре 5 существует единственное решение уравнения (9.2.3), к которому сходится последовательность {лг(Л)}, получаемая методом простой итерации (9.2.5) с начальным элементом х(0).
Условие (9.2.7) достаточно для того, чтобы ф(х) отображало шар 5 в себя.
9.2.3. Оценка погрешности метода простой итерации. Доказательство следующих ниже оценок аналогично соответствующим доказательствам для метода простой итерации в линейных системах уравнений (см. 8.3). Пусть выполнены условия теоремы 9.3, тогда справедливы оценки для нормы разности А>го приближения х{к\ полученного из (9.2.5), и точного решения х уравнения х = ф(х).
Априорная оценка погрешности
\\х(к)—х\\ <а*г.
Апостериорная оценка погрешности
\\х(к)-х 1К т^- ||*(‘)-Х№“1) II-
1 — ОС
Если задана абсолютная точность вычислений в, то итерационный процесс прекращается по достижении такого значения к, при котором правая часть приведенных .выше, неравенств4 становится ^е. Из априорной оценки можно найти требуемое число итераций
а*г = е, &=1п(г/г)/1па,
для достижения заданной точности г.
9.2.4. Метод простой итерации для скалярных и векторных функций ф(х). Выше уже приводились примеры отображений ф(х), определяемых скалярными функциями ф(х). В настоящем разделе приводятся достаточные условия, которым должны удовлетворять скалярные и векторные функции ф^, ..., хп), чтобы они
определяли сжимающие в 5 отображения.
Рассмотрим нелинейное уравнение
*=ф(*),
12 Ю. П. Боглаев
353
где ср(л;)—скалярная функция. Норму в Е определим ||*||=|*|, шар 5,= {д:: |л;—л;(0) | ^г}.
Теорема 9.4. Пусть функция ср(х) непрерывно дифференцируема в шаре 5. Пусть в шаре 5
Тогда справедливо утверждение теоремы 9.3.
Доказательство. Утверждение будет следовать из теоремы
9.3, если мы докажем, что выполняются ее условия. Очевидно, что_ (9.2.7) следует из (9.2.9). По теореме о среднем для х, хеЗ имеем
а так как из (9.2.8) имеем а<1, то отображение ср(л;)—сжимающее в шаре 5. Все условия теоремы 9.3 выполнены, что и требовалось показать.
Для иллюстрации этой теоремы рассмотрим определение положительного корня уравнения
в шаре 5,= {д:: |*—1,51 ^0,1}. Определим коэффициент сжатия:
Таким образом, оно выполнено. Согласно утверждению теоремы
9.4, последовательность {х(к)} сходится к единственному решению уравнения в 5. Вычислим два первых приближения:
(9.2.8)
и
|ф(л:(0)) -*(°)| <(1-ос)г.
(9.2.9)
• ф(х).^<р(х) = ^)(х-х),
где Отсюда следует, что
1ф(лг)-<р(х)| = ^(^) \х-х\<а|*-х|,
Я .
x=-smx
2
методом простой итерации
x{k+1) = ^sinx{k\ к = 0, 1, 2, ...; л;(0)=1,5
a= max -cos л: =0,267.
\,4^х^\,6 2
Проверим условие (9.2.9):
|sin 1,5—1,5 ^0,0667<(1 -0,267)0,1 = 0,0733.
354
Точное значение корня х = я/2 с шестью верными знаками после запятой 1,570796 показывает, что х(2) дает четыре верных знака после запятой. Ожидаемая погрешность второго приближения, следующая из априорной оценки
|х(2)-х| ^ (0,267)2 -0,1= 0,007,
оказывается более пессимистической. Это обычное явление, поскольку при получении оценок берутся завышенные значения в правых частях неравенств. Из апостериорной оценки находим неравенство
Л2)
-х\ <
0,267
1-0,267
3,98 • 10“3 = 0,001,
означающее, что в х{2) по крайней мере два верных знака после запятой.
