Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тем не менее для пространственно-временных многообразий, удовлетворяющих некоторым условиям причинности, было доказано существование непространственноподобно полных лоренцевых метрик. Зейферт (1971, с. 258) показал, что если (М, g) устойчиво причинно, то M конформно пространству-времени, у которого все направленные в будущее (или все направленные в прошлое) непространственноподобные геодезические полны. Кларке (1971) показано также, что путем конформного преобра- 5.2. Геодезическая полногНа
135
зования метрики сильно причинное пространство-время можно сделать изотропно геодезически полным. Бим (1976а) изучал пространственно-временные многообразия, обладающие следующим свойством: никакая непродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая не может быть захваченной в будущей произвольно взятым компактным подмножеством К из М. (Напомним, что непространственноподобная кривая у называется захваченной в будущем множеством К, если существует ^0 R, такое, что у (t) ? К для всех t ^ t0.) Если (М, g) — причинное пространство-время, удовлетворяющее этому условию, то найдется конформный множитель Q: М. (0, оо), для которого многообразие [М, Qg) изотропно и времениподобно геодезически полно (см. Бим (1976а, с. 184, теорема 8)). Это условие захвата выполнено, если (М, g) устойчиво причинно, сильно причинно или является различающим. Тем самым мы можем сформулировать следующий результат.
Теорема 5.5. Если пространство-время (М., g) является различающим, сильно причинным, устойчиво причинным или глобально гиперболическим, то существует гладкий конформный множитель Q : M -»- (0, оо), для которого пространство-время [М, Qg) времениподобно и изотропно геодезически полно.
Вопрос о том, можно ли усилить теорему 5.5, включив в нее пространственноподобную геодезическую полноту, остается пока открытым (см. следствие 2.33 для пространственно-временных многообразий, гомеоморфных R2).
Допустим, что несингулярным пространством-временем названо геодезически полное пространство-время. Тогда «никакие области из пространственно-временного многообразия» несингулярного пространства-времени «не выброшены» (Герок (19686, свойство 1)). Но там же Герок (19686, свойство 2) выдвигает второе условие, которому должно удовлетворять несингулярное пространство-время, а именно «наблюдатели, которые следуют по «допустимым» (в некотором смысле) мировым линиям, должны иметь бесконечное полное собственное время». Здесь «мировая линия» — это времениподобная кривая в (М., g). Далее Герок (19686, сс. 534—540) строит геодезически полное пространство-время, содержащее гладкую времениподобную кривую ограниченного ускорения, но имеющую конечную длину. Тем самым этот пример не удовлетворяет второму условию Герока, хотя все времениподобные геодезические вследствие геодезической полноты имеют бесконечную длину.
В соответствии с вышесказанным в общей теории относительности кроме геодезически неполных пространств изучаются также другие типы сингулярных пространственно-временных многообразий. В оставшейся части этого раздела мы рассмотрим два из 136
Гл. 5. Полнота и расширении
этих дополнительных типов полноты — о.у. полноту («полноту ограниченного ускорения») и 6-полноту («полноту расслоения»).
Понятие о.у. полноты возникает из рассмотренного выше примера Герока. Прежде чем сформулировать определение 5.6, напомним, что любую С2-гладкую времениподобную кривую можно перепараметризовать в C2 — гладкую времениподобную кривую у: J -»- M так, что g (7' (t), 7' (t) = —1 для всех t G J.
Определение 5.6. Будем говорить, что C2 — гладкая времениподобная кривая 7: J -»- М, у которой g (7' (t), 7' (/)) = —1 для всех t 6 J имеет ограниченное ускорение, если существует постоянная В > 0, такая, что | g (ууу' (t), yry' (t)) | < В для всех t t J-
Здесь через у обозначается единственная на M связность без кручения, определяемая метрикой g (см. разд. 2.1). В частности, если 7 — геодезическая, то она имеет ограниченное ускорение (всегда равное нулю). Требование C2-гладкости на 7 обеспечивает возможность вычисления Vv-Y -
Перейдем теперь к определению о.у. полноты.
Определение 5.7. Пространство-время (М, g) называется о.у. полным, если все направленные в будущее (соответственно в прошлое) непродолжаемые в будущее (соответственно в прошлое) С2-гладкие времениподобные кривые с единичным вектором скорости и ограниченным ускорением имеют бесконечную длину. Если же найдется направленная в будущее (или в прошлое) непродолжаемая в будущее (или в прошлое) С2-гладкая времениподобная кривая с единичным вектором скорости и ограниченным ускорением, но с конечной длиной, то (М, g) называется о.у. неполным.
Пример Герока (19686, с. 534—540) показывает, что из геодезической полноты о.у. полнота не следует. Позже Бим (1976в, с. 509) привел пример того, что даже для глобально гиперболического пространства-времени геодезическая полнота не влечет за собой о.у. полноты. Вместе с тем ясно, что из о.у. полноты V времениподобная геодезическая полнота вытекает с очевидностью. С другой стороны, модифицируя пример Герока, приведенный на рис. 5.2, путем изменения знака метрического тензора, можно показать, что из о.у. полноты пространственноподобная геодезическая полнота не следует.
