Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые точные решения уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, как, например, расширенное решение Шварцшильда, содержат непространственноподобные геодезические, которые становятся неполными при входе в черную дыру. И хотя существование неполных непродолжаемых непространственноподобных геодезических вовсе не обязывает пространство-время содержать черную дыру, тем не менее эти примеры подсказывают идею возможного использования наличия непростран-ственноподобной геодезической неполноты в качестве теста первого порядка для выделения «сингулярных пространств» (см. Хокинг и Эллис (1977, гл. 8), Кларке и Шмидт (1977), Эллис и Шмидт (1977)). Поэтому нижеследующее определение в общей теории относительности является общепринятым. Напомним, что геодезическая называется непродолжаемой, если она непро-должаема ни в прошлое, ни в будущее.
Определение 5.3. Пространство-время (M, g) называется времениподобно (соответственно изотропно, непространственнопо- 5.2. Геодезическая полногНа
133
добно, пространственноподобно) геодезически полным, если все времениподобные (соответственно изотропные, непространственно-подобные, пространственноподобные) непродолжаемые геодезические полны. Пространство-время называется геодезически полным, если все непродолжаемые геодезические являются полными. Совершенно аналогично пространство-время (М, g) называется времениподобно (соответственно изотропно, непространственно-подобно, пространственноподобно) геодезически неполным, если некоторые времениподобные (соответственно изотропные, непро-странственноподобные, пространственноподобные) геодезические неполны. Непространственноподобно неполное пространство-время называется геодезически сингулярным пространством-временем. .
Ранее высказывались предположения о том, что времениподобная геодезическая полнота может повлечь за собой изотропную геодезическую полноту и т. п. Однако Кундт (1963) привел пример пространства-времени, которое времениподобно и изотропно геодезически полно, но не является пространственноподобно геодезически полным. Затем Герок (19686, с. 531) построил пример пространства-времени, конформного пространству-времени Минковского и потому глобально гиперболического, которое времениподобно неполно, но является полным и изотропно, и пространственноподобно. Герок заметил также, что модификации примеров Кундта и его собственных дают примеры пространственно-временных многообразий, которые: 1) неполны в любых двух смыслах, но непременно полны в третьем; 2) пространственноподобно неполны, но полны времениподобно и изотропно; 3) времениподобно неполны, но полны и пространственноподобно, и изотропно. Затем Бим (1976в) построил пример глобально гиперболического пространства-времени, которое изотропно неполно, но является и времениподобно, и пространственноподобно полным. Эти результаты можно объединить следующим образом.
Теорема 5.4. Времениподобная геодезическая полнота, изотропная геодезическая полнота и пространственноподобная геодезическая полнота логически не эквивалентны.
Чтобы пояснить конструкции, используемые при доказательстве теоремы 5.4, мы опишем принадлежащий Героку пример пространства-времени, которое является и изотропно, и пространственноподобно полным, а времениподобно неполно. Пусть (R2. go) —двумерное пространство Минковского с глобальными координатами (х, t) и обычной лоренцевой метрикой g„ = ds2 = = dx2 — dt2. Конформно преобразуем метрику g„ к новой метрике g = (pgo, где <p: R2 -> (0, оо) — гладкая функция со следующими свойствами (см. рис. 5.2):
(1) ф (х, t) = 1, если х < —1 или х ^ 1; 134
Гл. 5. Полнота и расширении
(2) ф (х, t) = ф (—X, t) для всех (х, t) Є R2;
(3) на оси t ф (0, t) при t -> оо стремится к нулю, как ^4.
Вследствие того что метрика g конформна метрике g0, пространство-время (R2, g) является глобально гиперболическим, а изотропные геодезические имеют в качестве образов прямые линии, образующие с осью х углы в 45°. По свойству (2) отражение F (х, t) = F (—х, t) является изометрией пространства (R2, g). Вследствие того что множество неподвижных точек этой изометрии является вполне геодезическим, ось t можно параметризовать так, чтобы она стала времениподобной геодезической. Согласно условию (3), эта геодезическая является неполной при t-+ оо. Поэтому многообразие (R2, g) времениподобно неполно. Однако всякая изотропная, или пространственноподобная геодезическая, которая входит в полосу —1 с х < 1, в конце концов покидает ее, а затем остается вне этой полосы. Таким образом, условие (1) означает, что (R2, g) изотропно и простран-ственноподобно полно.
Рассмотрим теперь обратную задачу — построение геодезически полных лоренцевых метрик для паракомпактных гладких многообразий. Чтобы сохранить причинную структуру исходного пространства-времени, ограничим наше внимание главным образом не произвольными деформациями метрики, а лишь ее глобально конформными преобразованиями.
Для риманова случая Номидзу и Одзеки (1961) показали, что произвольную риманову метрику можно сделать полной при помощи конформного преобразования. С другой стороны, существуют пространственно-временные многообразия, обладающие тем свойством, что никаким глобально конформным множителем их невозможно превратить в непространственноподобно геодезически полные. Пример двумерного пространства-времени с таким свойством был построен Мизнером (1967). В его примере есть непро-должаемые изотропные геодезические, которые неполны в будущем и захвачены в будущем компактным множеством (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 191—193)). Любое конформное преобразование рассматриваемого пространства будет оставлять эти изотропные геодезические точечно неизменными и неполными в будущем. Тем самым аналог результата Номидзу и Одзеки для произвольного пространства-времени получить нельзя.
