Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Остается доказать, что Y непродолжаема. Мы приведем доказательство только для случая непродолжаемости в будущее, так как случай непродолжаемости в прошлое рассматривается аналогично. Предположим противное: кривая Y не является не-продолжаемой в будущее. Тогда при t оо имеем у (t) -> q0 ? М. Пусть U' — выпуклая нормальная окрестность точки q0 с компактным замыканием U', которое содержится в карте (V, х) 2.3. Предельные кривые и С-топология на кривых:
43
многообразия M с локальными координатами (.V1, ..., .v„), где I = X1: U' -> К — временная функция для U'. Из неравенства вида (2.2) следует, что если [Z1, оо) сг U', то никакая непространственноподобная кривая в U', идущая от множества уровня
(/ (т (^i))) к множеству уровня /-1 (/ (^n)). не может иметь длину дуги в метрике h больше, чем некоторое число б' > 0. С другой стороны, для достаточно больших k должно выполняться включение
Tft [Z1 + 1, Z1 + б' + 2] с /-1O / (у (Z1)), / (CJ0)]).
Это приводит к противоречию вследствие того, что длина L0 (yk Ytl -f 1, Z1 - I- б' + 2]) ¦ = б' + 1 для всех k. Г]
Предельная кривая у, получающаяся в ходе доказательства предложения 2.18, не обязательно параметризована длиной дуги, даже если непродолжаемые непространственноподобные кривые последовательности \уп\ параметризованы длиной дуги относительно полной римановой метрики h. Это является следствием того факта, что риманов функционал длины не обладает свойством полунепрерывности сверху (хотя ой її полунепрерывен снизу) в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах. Тем не менее, хотя построенная в ходе доказательства предложения 2.18 кривая у не обязательно параметризована длиной дуги, она будет определена для всех значений (параметра) из R (по условию каждая уп непродолжаема). Более того, если (М, g) сильно причинно, то из теоремы Хопфа—Ринова и предложения 2.9 вытекает, что d0 (у (0), у (/)) -> оо, когда 11 \ -> оо. Здесь через d0, как и выше, обозначена полная рнманова функция расстояния, индуцированная на M метрикой h.
В глобально гиперболическом случае предложение 2.18 можно усилить.
Предложение 2.19. Пусть (М, g) глобально гиперболично. Предположим, что {рп\ и \qn\—последовательности в М, сходящиеся к точкам р и q ? M соответственно, причем р < q, р Ф q и рп < qn для любого п. Пусть уп — направленная в будущее непространственноподобная кривая, идущая из рп в qn, п ^ М. Тогда существует направленная в будущее непространственноподобная кривая у, предельная для последовательности -Jy71 } и соединяющая р с q.
Доказательство. Пусть h — вспомогательная полная рима-нова метрика на M с функционалом длины L0. Выберем конечное покрытие компактного множества J+ (р) f| J~ (q) выпуклыми нормальными окрестностями U1, ..., Uh, каждая из которых имеет компактное замыкание и такова, что никакая непространственноподобная кривая, покидающая любую окрестность U1, никогда в нее не возвращается. Как в доказательстве предложения 2.18, 44
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
устанавливается, что для каждого і существует число Ni, такое-что любая непространственноподобная кривая у: [a, b] -> Ui имеет длину относительно метрики h, меньшую Nt (см. формулу (2.2)). Поэтому, если U = U1 U •¦• U Uh и W = N1 + ... + Nk, то любая непространственноподобная кривая у: [a, b] -> U должна удовлетворять неравенству Ln (у) < N.
Продолжим каждую данную непространственноподобную кривую уп до непродолжаемой в будущее непространственноподобной кривой, также обозначаемой через уп. Можно считать, что каждая Yn: [0, оо) -> M параметризована длиной дуги относительно метрики h (см. формулу (2.2)). Поэтому, если LJ--U1 U ... U Ub, то. согласно предложению 2.18, существует иепродолжаемая в будущее непространственноподобная кривая у: [0, оо) -> М, у (O) =-- р, предельная для \уп\ и такая, что некоторая подпоследовательность \уП1] последовательности |vK} сходится к у равномерно на компактных подмножествах 10, оо). Из соотношений Ут (tm) ~ Цт, О < Im < N, и сходимости Cjm -> с] заключаем, что при некотором значении параметра т, удовлетворяющего условию О < т < N, кривая у проходит через точку q. Отсюда следует, что у I 10, ті — непространственноподобная кривая, предельная для 5Ym I [0, tm ] I и соединяющая р с q. ?
Обратимся теперь к рассмотрению сходимости в Cn-топологии (см. Пенроуз (1972, с. 49)).
Определение 2.20. Пусть у и все кривые последовательности |y;1} определены на отрезке [a, b]. Будем говорить, что последовательность [уп\ сходится к у в Cj-топологии на кривых, если уп (а) -> у (а), уп (Ь) -> у (Ь) и для любого открытого множества V, содержащего у, можно указать целое число N, такое, что уп Cz V для всех п :>= N.
Произвольное пространство-время содержит последовательность |y„}, которая имеет предельную кривую у, однако не сходится к у в C0-топологии. Пусть а, ?: [0, 1 ] -> M — две направленные в будущее времениподобные кривые, связанные условием а ([О, II) П ? (tO, 1 ]) = 0. Положим
J а, если п = 2т, Уп== { ?, если п = 2т — 1,
Тогда {Ynl не сходится в С°-топологии ни к а, ни к ?. В то же время подпоследовательность у.^т (соответственно У%т- л) последовательности [уп\ сходится к а (соответственно к ?) в Cn-топологии. Не являющееся сильно причинным пространство-время может содержать также последовательность [уп\ непространственноподобных кривых, которая имеет непространственноподобную предельную кривую Y, но не содержит ни одной подпоследова- 2.3. Предельные кривые и С-топология на кривых:
