Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
гообразие М. Каждая непространственноподобная кривая 7 на M может пересечь данную поверхность уровня самое большое один раз вследствие того, что f должна быть либо строго возрастающей вдоль 7, либо строго убывающей.
Одним из наиболее важных условий причинности, которое мы будем рассматривать в этом разделе, является глобальная гиперболичность. Глобально гиперболические пространства обладают следующим важным свойством; каждую пару причинно связанных точек можно соединить непространственноподобным геодезическим сегментом максимальной длины.
Определение 2.11. Сильно причинное пространство-время (М, g) называется глобально гиперболическим, если для каждой пары точек р, q ? M множество J+ (р) f| J~ (q) компактно.
Различающее пространство-время (M, g) называется причинно простым, если J+ (р) и J- (q) — замкнутые подмножества M для всех р, q ? М.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.12. Глобально гиперболическое пространство-время причинно просто.
Доказательство. Пусть q ? J+ (р) \ J+ (р) для некоторой точки р ? М. Выберем в I+ (q) произвольную точку г. Вследствие того что 1~ (г) открыто и q ? J+ (р), легко убедиться в том, что г ? I+ (р). Для этого достаточно взять последовательность \qn\ a J+ (р), сходящуюся к q, и воспользоваться тем, что из соотношений р < qn, qn г вытекает р <С г. Следовательно, q ? J+ (р) П J~ (г) \ (J+ (р) П J' (г)). Но это невозможно в силу того, что множество J+ (р) П J~ (г) компактно и, значит, замкнуто. ?
Глобально гиперболические пространства можно охарактеризовать при помощи поверхностей Коши. Поверхность Коши S — это такое подмножество М, которое каждая непродолжаемая непространственноподобная кривая пересекает ровно в одной, точке. Можно показать, что пространство-время глобально гиперболично тогда и только тогда, когда оно допускает поверхность Коши (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 232—235)). Более того, Герок (1970) установил для глобально гиперболических пространств следующую важную структурную теорему (см. Сакс и By (19776, с. 1155)).
Теорема 2.13. Глобально гиперболическое пространство-время (M, g) размерности п гомеоморфно R х 5, где S есть (п — 1 )-мерное топологическое подмногообразие M и для каждого t {?} х S — поверхность Коши. 2.2. Теория причинности пространства-времени
37
В доказательстве этой теоремы используется функция f: M -> R, задаваемая по правилу / (р) = -- т (J+ (р))/т (J- (р)), где т — мера на М, т (M) ~ 1. Можно убедиться в том, что множества уровня функции f являются поверхностями Коши, как и требуется, однако функция f необязательно гладкая.
Функцию времени f: M -> R будем называть функцией времени Коши, если каждое множество уровня
(с), с ^ R1 является поверхностью Коши для М. При изучении глобально гиперболических пространств удобнее пользоваться не произвольной временной функцией, а временной функцией Коши.
В полном римановом многообразии любые две точки можно соединить геодезической минимальной длины. Авез (1963) и Зейферт (1967) получили лоренцев аналог этого результата для глобально гиперболических пространств.
Теорема 2.14. Пусть (М, g) глобально гиперболично и р < q. Тогда существует непространственноподобная геодезическая, идущая из р и q и такая, что ее длина не меньше длины любой другой направленной в будущее непростран ствен н оподобн ой кривой, соединяющей р с q.
Следует отметить, что геодезическая в теореме 2.14 не обязательно единственна. Этот результат также будет рассматриваться в разд. 3.2 (с точки зрения лоренцевой функции расстояния). Герок и Хоровиц (1979, с. 289—293) составили интересный список утверждений, касающихся причинности и требующих доказательства или опровержения (вместе с ответами). Мы приводим диаграмму, указывающую на связь между рассмотренными выше условиями причинности (см. Хокинг и Сакс (1974, с. 295), Картер 19716)).
глобально гиперболическое
причинно простое
причинно непрерывное
устойчиво причинное
сильно причинное
различающее
причинное
Ґ
хронологическое
Рис. 2.3. Диаграмма связей между собой различных условий причинности, используемых в этой книге. Наиболее сильным из условий причинности, которые мы будем использовать, является условие глобальной гиперболичности. 38
Г л. 2. Лоренцевы многообразия и причинность
2.3. Предельные кривыэ и С°-топология на кривых
В лоренцевой геометрии и общей теории относительности используются два различных вида сходимости для последовательности непространственноподобных кривых {уп\ (см. Пенроуз (1972), Хокинг и Эллис (1977)). Первый тип сходимости основывается на понятии предельной кривой последовательности кривых, в то время как второй использует понятие С°-топологии на кривых. Для произвольного пространства-времени ни один из этих типов сходимости не является более сильным, чем другой. Однако, как мы покажем, для сильно причинных пространств эти две формы сходимости тесно связаны. Эта связь оказывается весьма полезной при построении максимальных геодезических в сильно причинном пространстве-времени (см. разд. 7.1 и 7.2).
