Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 10.3. Пусть (М, g) — произвольное пространство-время. Предположим, что существуют точки р, q ? М, такие, что d (р, q) = diam (Af, g). Тогда d (р, q) = оо.
Доказательство. Предположим, что d (р, q) = diam (Af, g) < < оо. Тогда для произвольного q ? I+ (q) должно выполняться неравенство
d (р, q') Ss d (р, q) + d (q, q') > d (р, q) = diam (Af, g),
приводящее к противоречию. ?
Вспоминая, что глобально гиперболические пространства удовлетворяют условию конечности расстояния, из предложения 10.3 получаем следующее утверждение. 296
Гл. 10. Некоторые результаты
Следствие 10.4. (1) В пространстве-времени конечного времениподобного диаметра нельзя найти пару точек, на которой этот времениподобный диаметр реализовался бы. (2) В глобально гиперболическом пространстве-времени времениподобный диаметр никогда не достигается.
Докажем теперь лоренцев аналог (теорема 10.9) теоремы Бонне — Майерса для полных римановых многообразий (см. Чигер и Эбин (1975, с. 27—28)). Близкие результаты были получены Авезом (семинар-лекция), Флаэрти (не опубликовано), Улен-беком (1975, теорема 5.4 и следствие 5.5) и Бимом и Эрлихом (1979в, теорема 9.5). Теорема 10.9 неявно содержится также в более сильных результатах, использующих уравнение Рай-чаудхури, которое играет важную роль в теории сингулярностей в общей теории относительности (см. разд. 11.2 или Хокинг и Эллис (1977, разд. 4.4)).
Определение 10.5. Времениподобной 2-плоскостью ст называется любое двумерное подпространство касательного пространства TpM, где р Q M — некоторая точка, которое порождается пространственноподобным и времениподобным касательными векторами.
Напомним, что секционную кривизну К. (ст) времениподобной 2-плоскости ст можно вычислить путем выбора базиса {и, w\ для ст, состоящего из времениподобного и пространственноподобного касательных векторов, если положить
д- /0ч _ _g (R (у, W) W, l')_
^ ' g (V, v)g(w, W)— [g(v, w)}2
Замечание 10.6. Вместо того чтобы рассматривать все секционные кривизны, необходимо ограничить внимание лишь времениподоб-ными секционными кривизнами по следующей причине. Если (М, g) — пространство-время размерности 5гЗ и все секционные кривизны (М, g) ограничены либо сверху, либо снизу для всех неособенных 2-плоскостей, то (М, g) имеет постоянную секционную кривизну (Кулкарни (1979)). Здесь 2-плоскость ст называется неособенной, если g (V, v) g (W, w) Ф [g (V, w) ]2 для некоторого базиса {v, w\ в ст. С другой стороны, существуют пространства, у которых либо все времениподобные секционные кривизны —k2, либо все времениподобные секционные кривизны ^k2. Однако Харрис (1979) показал, что если все времениподобные секционные кривизны ограничены и сверху, и снизу, то (М, g) имеет постоянную секционную кривизну. Тем самым для защепленных римановых многообразий не существует явного аналога лоренцевой секционной кривизны (см. Чигер и Эбин (1975, с. 118), где рассматривается риманово защепление). 10.1. Времениподобный диаметр
297
Вследствие соглашения о сигнатуре (—, +, .... +), используемого здесь для лоренцевых метрик, условиям положительности (соответственно отрицательности) секционной кривизны для полных римановых многообразий в римановой геометрии в лоренцевой геометрии соответствуют теоремы для глобально гиперболических пространств отрицательной (соответственно положительной) секционной кривизны. С другой стороны, если изменить это соглашение о сигнатуре на (+, —, •••, —), положив (М, g) = (М, —g), то К (g) = —К (g). Тогда римановым теоремам для положительной (соответственно отрицательной) секционной кривизны будут соответствовать лоренцевы теоремы для положительной (соответственно отрицательной) секционной кривизны для (М, g) (см., например, Флаэрти (1975а, с. 395— 396), где используется соглашение (+, —, ..., —)). Однако вне зависимости от того, какая из метрик, g или g, выбирается в качестве лоренцевой метрики для М, Ric (g) = Ric (g). 1 ^Удобно выделить часть доказательства теоремы 10.9 в отдельное утверждение.
Предложение 10.7. Пусть (М, g) — произвольное пространство-время размерности п 2. Предположим, что (М, g) удовлетворяет одному из следующих условий кривизны; либо
(а) все времениподобные плоскости имеют секционную кривизну, оцениваемую сверху постоянной —k << 0, либо
(б) Ric (g) (v, и) ^= (п — 1) k > 0 для всех единичных времениподобных касательных векторов v ? TM.
Тогда, если с: [0, Ь] —> M — произвольная времениподобная геодезическая длины L (с) ^ п/уПГ, то геодезический сегмент с имеет пару сопряженных точек.
Доказательство. Вследствие того что из условия кривизны
(а) вытекает условие кривизны (б) (достаточно взять след), будем доказывать сформулированное [утверждение, исходя из условия
(б). Для удобства предположим, что с: [0, L ] M —'нормальная времениподобная геодезическая длины L. Положим En (t) = с' (t) для всех t G [0, L\. Пусть 1\Ег, ..., L1n^l есть п — 1-простран-ственноподобное векторное поле, параллельное вдоль с и такое, что векторы E1 (t), E2 (t), ..., En (t) образуют лоренцев орто-нормированный базис пространства Tc щМ для каждого t ? ? [0, L ]. Положим Wi (t) = sin (яt/L) E1 [t), так что Wi ? VJ-(с) (обозначение VJ- введено в определении 9.1). Используя формулу (9.3) определения 9.4, получим
