Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= - JI ig (ГА (Z)]', ia (Z)]') - g ш (Z), A (Z))] dt = = -\bau(A(Z), A'(Z)) + 2i(A'(Z), A(Z')) f -Г g(A(Z'), A(Z'))+1(1" (Z), A (Z))] dt.
И далее
g (Л" (Z), A (Z)) =I ([A' (Z)]', A (Z)) - g (Л' (Zf), A (Z)) = ^
= Ii (I'(Z), A (Z))]' -g (Л' (Z), [A (Z)]') -g (Л' (Z'), A(Z)) = = [і (Л' (Z), A (Z))]' - g (Л' (Z)1 A (Z')) - g (Л' (Z), A' (Z)) -
-g(A'(Z'), A(Z)).
Подставляя полученное выражение в приведенную выше формулу для T (W, W), получим, что
1(W, W) = -g(A'(Z), A(Z))\ba-
- J^ [і (Л (ZJ), A (Z')) + g (Л' (Z), A (Z')) --1 (Л' (Z'), A (Z))] dt = -g (Л' (Z), Wt -- \ba[g(A (Z'), A(Z')) + g(A*A'(Z), Z')-g(Z', (A')* A(Z))] dt. 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Первое слагаемое обращается здесь в нуль, поскольку W (а) = = f?' (а)] и W (b) = [?'(6)l. Поэтому, используя равенство (9.60), получаем
7 (W, W) = - Д {g (Л (Z'), А (Z')) + g ([А*А' - (Л')* Л] (Z), Z')\ dt =
= - ^g (Л (A ~A(Z'))dt.
Если Z' (0 = 0 для всех t, то Z паргллельно вдоль ?, и, значит, W = A (Z) должен быть якобиевым векторным классом вдоль ?, для которого W (а) = f?' (а) ] и W (b) = f?'(fc)]. Так как ? не имеет на (а, b ] сопряженных точек, это невозможно. Следовательно, из положительной определенности метрики^ g и невырожденности Л (t) для t Q (а, Ь] мы получаем, что I (W, W) < 0, как и требовалось. ?
Это предложение имеет хорошо известное в общей теории относительности геометрическое следствие: если ?: la, b ] —M свободна от сопряженных точек, то никакая «малая» вариация не дает времениподобной кривой из р в q (см. Хокинг и Эллис
Приступим к доказательству следующей теоремы.
Теорема 9.69. Пусть ?: Г a, Ь] M — изотропный геодезический сегмент. Тогда следующие высказывания эквивалентны:
(а) ? не имеет на (a, b 1 сопряженных точек.
(б) 7 (W, W) < 0 для всех W Q X0 (?), W Ф [?'].
Доказательство. В предложении 9.68 мы уже показали, что из (а) следует (б). Чтобы показать, что (б) влечет за собой (а), допустим, что точка ? (а) сопряжена ? (t0), где 0 < f0 < b, и построим нетривиальный векторный класс W (j X0 (?), для которого I (W, W) 5? 0. Известно, что если ? (а) сопряжена ? (t0), то существует нетривиальный якобиев класс Z Q X (?), у которого
Тогда, применяя формулу (9.45) и равенства Z (а) = [?'(a)], Z (t0) = [?' (4)], получим, что
1(W, W) = I(W, W)*a' + 7 (Г, W)\bu = -g(Z', Z) -f 0 = 0.
Тем самым (б) =^ (а) выполняется. ?
Как и в римановом и времениподобном случаях (см. теорему 9.23), теорема 9.69 имеет приводимое ниже следствие, которое
(1977, с. 130)).
Z (а) = [?'(fl)], Z(t0) =[?' (4)].
Положим
а < / с ^0, ^0 < t 284 Гл. 9. Теория Aiopea об индексе для лоренцссых многообразий
существенно используется в доказательстве теоремы Морса об индексе для изотропных геодезических.
Теорема 9.70. (максимальность якобиевых классов). Пусть ?: la, Ь] -*¦ M — изотропный геодезический сегмент без сопряженных точек и J ? ? (?) — произвольный якобиев класс. Тогда для любого векторного класса Y <J Ж (?) , удовлетворяющего условиям Y ф J и
Y \а) = J {a), Y (b) = J (Ь), (9.63)
имеем
1 (J, J) >7 (Y, Y). (9.64)
Доказательство. Сформулированное утверждение можно доказать в точности так же, как и теорему 9.23; достаточно применить формулу (9.45) и теорему 9.69.
Поскольку каноническая вариация (9.5) из разд. 9.1, примененная к векторному полю W ? V1 (?), не обязательно является допустимой вариацией ? в смысле определения 9.58, теорема 9.69 не гарантирует существования времениподобной кривой из ? (а) в ? (Jb) в том случае, если t = а сопряжена некоторой t0 (j (a, b) вдоль ?. Поэтому мы приведем отдельное доказательство этого результата в теореме 9.72 (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 130—131), Бёлтс (1977, с. 117—121)). Сначала полезно получить условия того, чтобы собственная вариация изотропной геодезической была допустимой. Для удобства будем предполагать, что ?: [0, 1 \ M, так что формулы в доказательстве теоремы 9.72 будут попроще.
Пусть а: [0, 1 ] X (—є, є) M — кусочно-гладкая допустимая собственная вариация ?, такая, что каждая соседняя кривая Ocs (t) = a (t, s) является в будущем времениподобной для s ф 0. Обозначим через d/dt и d/ds координатные векторные поля на [0, 1 ] X (—є, є) и положим V = a* (d/ds) и T = а* (d/dt). Тогда T [(,, о) = ?' (Jt) и V I«, о) называется векторным полем вариации а геодезической р. Ввиду того что а — собственная вариация, V [(о, о) = V |(i, о). Кроме того,
^-(8(7-,7-))1(/.0)=0 (9.65)
вследствие того, что g (Т, Т) I«, s) < о для . ф 0 и g (Т, Т) |(,, 0) = = g (P' (0. P' it)) = 0. Вычисляя (g (Т, T)), получаем
(g (Т, T)) |(,, о) = 2g (VdfdsT, Т) о, = 2g (AWtV, Т) |(,, 0) = = 2 A(g (1/, T)) |(/> о) - 2g (V, VdldtT) |(,, 0) = = 2 ±- (g (1/, T)) |(,, o) - 2g (V\(,, o), Va/лР' J,). 9.3. Теория Морса для изотропного индекса
27"}
Так как ? — геодезическая, то
^fiё(Т. T)) \(U0) = 2±{g{V, T)) |(Л0).
Функция / (t) = g (V, T) о) является кусочно-гладкой на [0, 1 ] и / (0) =/(1) =0. Значит, если f (t) ф 0 для некоторого t Є ? [0, 1 ], то существует точка tL ? (0, 1), в которой /' (Z0) > 0. Тогда
