Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " І
Гл. в
самосопряженной форме
а
dx
(л* е~* — ах°~1 е~*у = О
0)
и применим эту теорему. Мы получим, что экстремальные значения, или, точнее, их абсолютные значення, образуют возрастающую нлн убывающую последовательность, в зависимости от того, является ли
—алг®-1 е~х хс е~* = — axSc~l e~Sx
(2)
убывающей или возрастающей функцией от х. Поэтому последовательные
максимумы от |_у[ возрастают, если
в>0, хсс--J- или в<0, х>е--2-,(3)
и убывают, если
а>0, x>c~y или а<0, x<c — j.~ (4)
Рассмотрим функции Уиттекера Afx „ и Wx . Пусть і
- 2(^-± & — отрезок Г Л
Г 2(^-^--.
Рис. 8.
Применим к 6.1 (4) теорему Сонииа — Пойя. Последовательные относительные максимумы \г\ возрастают, если
*>0 и X лежит вне & \ или > (5)
* <0 И X лежит внутри ?7, J и убывают, если
* >0 и X лежит внутри & 1 или \ (6)
* <0 и X лежит вие J Величина дальнейших экстремальных значений может быть приближенно вычислена с помощью асимптотических представлений, развитых в п. 6.13.
В качестве примера изучим
J, = Ф(_4І, 1; * ) (7)
при вещественных х, В обозначениях Уиттекера х = 5, = 0. В силу 6.4 (10)
2; Л:
(8)
Ясно, что у(0) = 1, у(0)=-4,5, и так как Г(— 4,5)<0, то из 6.13(3) следует, что у (— оо) = со, у' (— оо) = со, у (оо) = — оо, у' (со) = — 00. В силу диаграммы п, 6.16, у имеет пять положительных нулей и не имеет отрицательных нулей. В енлу 6.16(2), нулн функции у имеют приближенные значення 0,3; 1,5; 3,7; 6,9; 10,6 н, в енлу 6.16(2) н (8), экстремальными точками являются X = 0,9; 2,8; 5,8; 9,9. Кроме того, поскольку во всех этих точках выполнено условие (2), то максимумы \у\ образуют возрастающую последовательность. Набросок графика для у, основанный иа этой информации, изображен иа рнс. 8. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
BlTnes В. W., 1899: Messenger of Math. 29, 64—128. Barnes E. W., 1906: Proc. London Math. Soc. (2) 4, 284—316, IBarnes E. W., 1908: Proc. London Math. Soc. (2) 6, Hl—177. BShmer Bugen, 19S9-. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale, Leipzig. Brom wich T. J. l'a., 1947: An introduction to the theory of infiaite series, Macmlllan & Co., Ltd., London.
Bruijn N. 0., 1937: Mathematica, Zutphen B5, 170—180.
Dixon A. L. and F e г г a r W. L., 1936: Quart. J. Math., Oxford Ser. 7, 81—96.
Engen van H., 1938: Tohoku Math. J. 45, 124—129.
Fort Tomlinso n, 1948: Finite differences, Oxford.
Hardy 0. H., 1912: Quart. J. Math. 43, 215-216.
HSlder Otto, 1928: Ber. Verh. Sachs. Akad. Wlss. Math. Phys. Kl. 8», 312-328. Hutchinson J. 1., 1925: Trans. Amer. Math. Soc. 27, 49—60. Hutchinson J. i„ 1929: Trans. Amer. Math. Soc. 31, 222-344. Ingham A. E., 1932: The distribution of prime numbers, Cambridge. Kluyver J. C., 1927: Quart. J. Math. 50, 185-192. Lichtenbaum Paul, 1931: Math. Z. 33. 641—647. Llnd el&f Ernst, 1905: Le Calcul des Residua, Qauthier— Vlllars. Mellin H. J., 1910: Math. Ann. 68, 305—337.
Milne-Thomson L. M., 1933: The calculus of finite differences, MacmiUan & Co., Ltd., London.
gleisen Niels, 1906: Handbuch der Theorie der Qamma-Funktlon, В. О. Teubner, Leipzig. Nielsen Niels, 1923: Tralti alementaire des nombres de Bernoulli, Oanthler — Villars. N o г I u n d N. E., 1922: Acta Math. 43, 121-196.
N o r 1 u n d N. E., 1924: Vorlesungen uber Differenzenrechnung, Springer.
Ramanujan Srinivasa, 1927: Collected papers, Cambridge.
Rasch O., 1931: Ann. of Math. 32, 591—599.
Rogers L. S., 1905: Proc. London Math. Soc. 4, 169—189.
Rowe C. H., 1931: Ann. Of Math. 32, 10—16.
Sandham H. F., 1949: J. London Math. Soc. 24, 83—91.
Schwatt 1. S., 1932: J. Math. Pure Appl. IX, 143—151.
Shastri N. A., 1938: Ptillos. Mag. 25, 930—950.
T 11 с h m а г s h E. C., 1935: Proc. Roy. Soc. London 151, 234—255.
Titchmarsh E. C., 1936: Proc. Roy. Soc. London 157, 261—263.
Tricomi Francesco, 1950: Rend. Semin, Mat. Torino 9, 343—351.
tT r u e s d e 11 С. A., 1945: Ann. of Math. 46, 114-157.
Watson О. N., 192D: Quart. J. of Pure and Applied Math. 48, 1—18.
Wilton F. R., 1922: Messenger of Mathematics 52, 90—93.
Г e я ь ф о в д А. О., Исчисление конечных разностей, Фнзматгиз, 19ЗД,
Титчнарш Э., Дзета-функция Рниана, ИЛ, 1948. 282
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Уиттекер Э., В а т с о н Г., Курс современного анализа, Физнатгнз, т. I, 1961; т. II, 1963. Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального и интегрального исчисления, Фнэнатгиэ,
т. I, 1962; т. II, 1962; т. Ill, 1963. X а р д и Г., Сходящиеся ряды, ИЛ, 1949.
К главе 2
Bailey W. N., 1935а: Generalized hypergeometric series, Cambridge. Bailey W. N.. 1935b: Proc. London Math. Soc. (2) 38, 377—384. Bancroft T. A., 1949: Ann. Math. Statistics 20, 451-455. Barnes E. W., Ш7. Trans. Cambridge Philos. Soc. 20, 253—279. Barnes E. W., !90S: Pro:. London Math. Soc. (2) 6, 141—177.
Bateman Harry. Iе)»-. Trans. Cambridge Philos. Soc. 21, 171—196. In particular p. 184. B і о m w і с h T. J., 1947: An introduction to the theory of Infinite series, Macmlllan Sr Co.. Ltd., London.
