Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
i40(*,X)=l, A1 (х, X)= 0, Дг(*, Х)=Х,
2 1 X)=— -g *, A1 (ж, Х)=2"(Х)„
(л + 1М„+і(*. х) = (я+ 2Х-1)^,(*, X) — 2*Лп_2(*, X), л = 2, а, (13)
где An является многочленом степени j J по Также
Aa(— х, X) = (— if An(%, А). (14)
Дальнейшие детали см. Tricomi, 1949.
6.13. Асимптотическое поведение
Асимптотическое поведение вырожденной гнпергеометрической функции различно в зависимости от того, что принимает большее значение' переменное, один из параметров, оба параметра ичи, наконец, все три величины. Полный список результатов пока еще не получен
Исследования основаны или на интегральных представлениях или же непосредственно на дифференциальном уравнении, ній на подходящем разложении в бесконечный ряд
".13.1. Поведение при больших значениях х\. Поведение вырожден-вой іиперіеометрическоіі функции, когда Jr-»со, может быть изучено с
9 Г. Бейтмеи, А. Зрдейсі 267 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " Ігл. в
помощью основных интегральных представлений. Если положить в 6.5(3)
1. . • лг
(1 + = 2j(_ 1)" (« - в + 1)я ш + Rk
и оценить интеграл, содержащий Rpft то получим, что
N
V (а, с; iy(а)в ~!С + 1)в + О (| х |~'), (!)
л=0
3 3
# = 0,1,2,..., * -+со, — у к < arg л: < у.
Этот же результат может быть получен из 6.5(5) путем сдвига пути интегрирования влево, вычисления вычетов, когда мы проходим через полюсы r(a-j-s), и оценки оставшегося интеграла. Заметим, что этот результат находится в соответствии с 6.6(3). В самом деле (расходящийся) формальный ётепенной ряд S1Z70 является асимптотическим разложением в соответствующем секторе для аналитической функции, определенной формулой 6.6(3). . Поведение функции Ф может быть выведено из 6.7(7)
Ф (а, с; х) =
м
= -^?- (?)' У (- -)-+0(1 Xl —1)+
B=O
JV
+ Щ е*х°-< У<С-а)^-Д)" +0(1 exxa-c~N-l\), (2)
, ' я=О ¦'.¦¦_
' ' ' ' ¦ ; ' М, Xr=O1 1, 2.....
.е=1, если Im х > 0, s — — I, если х<0, х-» сзо, —7t < arg х < я. В частности, если Rex—<-оо, to
Ф\а, с; X) = "+ О (| х ........ " <3)
а "если Re X —> — сзо, то
ф {а> 4 х)= T^if1х)'а [1 + 0 {| *
6.13.2. Большие значения параметров. Если с —> оо, в то время как а и X ограничены, то поведение фуикции Ф описывается .формулой 6Д(1). В^ча^стности];" • -•.. •• • ' , * . '
¦ "...... Ф(а, с; ^)=1 + 0(1^(*1), а, X ограничены, е^оо.' 4 (4)
EfcmCpl-^To врёмй как с — а и х ограничены, то 6.3(7), дает требуемое (Описание: В частности,
'"is^I"Ф(«>..С — I * [ І + 0 (|с| У') }.' с — «і. X ограничены, с.cxj, " (5) 6,131 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 267
Поведение функции W в этом случае может быть выведено с помощью 6.5(7), 1.18(3) H 1.18(4) У (а, с; х) = (_с)-а[1+0(|с|-«)] +
+ /5Г exp|x-e + (c-y]lnc||"l+0(|c|-i)j, (6)
а, X ограничены, с —оо, |arg е, Jarg(—с) —е, е>0
Соответствующие результаты, когда с —> оо, а с — а н х остаются ограниченными, вытекают из 6.5(6).
Случай а —> оо более труден. Перрон (Perron, 1921) обосновал изучение этого случая на интегральном представлении типа Лапласа и применил метод наискорейшего спуска. Среди дальнейших исследователей отметим Трикомн (Tricomi, 1947), который нашел, что при некоторых ограничениях его разложение 6.12(11) является асимптотическим, а также Тейлора (Taylor, 1939)," который использовал метод Лангера для асимптотического представления решений дифференциального уравнения. Результаты Тейлора будут описаны в 6.13.3. Если \х\ и Iд:|-1 ограничены, положение дел заметно упрощается. В следующих ниже формулах с, х и Х~1 ограничены, в—> оо. Более удобно выражать формулы через
* = 4— «• (7)
Предполагается, что Iarg х—arg * | гс. Имеем тогда следующую таблицуt где є — некоторое положительное число:
arg х между 1 1 , e Je "T + T1-Twi X X e V (в, с; Jt) = f-
— it -J-», *'— * - /Tcos ^Ilt — 2 —-^У" [t -f 0(?x| 2")j (8)
«, 3it — « 1 (9)
2к + 4я — » 1 іУТсОв (xit-2VSe+-i^l +0 (|*| 2)J (10)
Зіс -f- 6w — s 1 --1(1 - <)e4>(ixit-2iy^o p + 0(|i| 2 '] (И)'
Асимптотическая формула для Ф прн тех же самых предположениях получается нз 6.7 (7)
9» 268 ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ " ІГл. в
При целом S мы имеем
1 in (s — 4-) (2с—1)
cL=Y^ е , (2s-2)*+essarg/**«= (2s +1)*-»,(13)
1 + 4-)(?-!)
Л —— __ Л » '
У 2л '
(2s — l)it-fe<arg У%х (2s + 2) л — в.
(14)
Для Ф Тейлор дал также асимптотическую формулу, справедливую равномерно в окрестности точки дг = 0. Еслн *х ограничено, то
Ф(а, с; *)=Г(е)(XX)3 3 е2 Ус_, (2/U) + 0(1 * Г1), (15)
с, х, X ограничены, х —>со.
Случай, когда а, с и с — а одновременно стремятся к бесконечности, не исследован полностью, однако известно, что еслн
а = \Л+а, с — a = vfi + ?, (16)
где а, ? — фиксированные, возможно комплексные, числа, a А и В — фиксированные положительные числа, причем v—»оо, пробегая положительные значения, то имеет место формула
Ф(а, г, X)= *2яГ(с)--^(-^(1 +ty-a [1 +0(v-»)l (17)
у ач Г (о) Г (с — а)
д
Здесь использовано сокращенное обозначение t = —^ , u = А (1 +1) = AR
. і в . См. также 6.13.3. А + а
