Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Определим
т г я
, П п Г(6; —S) П T(l—aj + s)
Gmn (X —'Msa- С -J=I_I=I_xsds /п
UP1\ ь„..,,ьч) ъл \ Q Pr X as, (I)
І П T(\-bf+s) п T(Cj-S)
j=m+1 ;=я+1
где пустое произведение интерпретируется как 1, О ^m ^q, О ^ л ^p н параметры таковы, что поносы Г(b,— s), / = 1,...,л», не совпадают нн с одним полюсом Г(1 — a^ + s), й = 1 ,.,.,п. Будем предполагать, что этн ограничения всегда выполнены. В тех случаях, когда это не приведет к недоразумению, будем для краткости писать
0%п [х I ?), G™ (X) и даже Q (х).
Для пути интегрирования L возможны трн различных варианта. Во-первых, путь L можно выбрать так, что он идет от — fco до +('со, оставляя все полюсы функций T(bj—s), j = 1,..., т, справа, а все полюсы функций Г (1 —ak + s), k = = 1,----л, слева. Интеграл сходится, еслн р + 0<2(т + п)
и |argх\<{(т + п- 2р- ^qjIZ.
(2) 204
ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
Во-вторых, в качестве L можно взять петлю, начинающуюся и оканчивающуюся в точке +оо и охватывающую все полюсы функций Г (bj — s), J = 1,..., т, в отрицательном направлении, но не охватывающую ни одного полюса функций Г(1 — aft4"s)i * = 1,..-,1- Интеграл сходится, если ?^1 и либо p< q, либо р = q и | х | < 1.
Наконец, в-третьих, в качестве L можно взять петлю, начинающуюся и оканчивающуюся в точке — оо и охватывающую все полюсы функций Г (1 — aft s), k = 1,..., п, в положительном правлении, но не охватывающую ни одного потюса функций Г (bj—s), J = 1, ..., т. Интеграл сходится, если р ^ 1 и либо р > q, либо р = q и W > 1.
(3)
(4)
Мы будем в дальнейшем предполагать, что значения параметров и переменной X выбраны так, что хотя бы одно из трех определений (2), (3) и (4) имеет смысл. В случае, когда имеют смысл несколько определений, они приводят к одинаковым результатам, так что не может возникнуть никаких недоразумений.
(7-функция является аналитической функцией от х. Она симметрична относительно параметров O1, ..., ап, равно как и параметров дя+1, ..., вр»
К •••> И bm+1, ..., Ьд.
В соответствии с (3) интеграл может быть вычислен как сумма вычетов. Если никакие два значения bJt ]=\, •••, т, не отличаются иа целое число, то все полюсы являются полюсами первого порядка и
н» ^ Ib
ж YlTibj-b^UTO+bk-aji
«wa-z-f1—ы-
»-• П Г(1 + ЪН-Ь]) П Г(а,-»ь)
лг6*;
v р Г 1 + Ьк — «і.....1 + H — apl I /BV
Хр9~1Ь+Ьн-Ь1, .... ......! + (-у-«-«* W
рCq или p = q и | х | < 1.
Точно так же, если никакие два ak, A = I1..., я, ие отличаются иа целое число, то из (4) следует
» П'г(вА—ау)П гС®у—«ЛЧ-1) --
»=i П T(aj-ah+l) П T(ah~bj)
/'= n +1 j—m-\-l у J7 Г 1+^-e*.....I+»f-«jtf і
q<p или q =р и | х | > 1.
В этих рааложеииях предполагается, что выполнены условия, соответствующие условиям дла-5.2(2). 5.3]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ G-ФУНКЦИИ МЕЙЕРА
20O
5.3.1. Простые тождества. Если одно из ар j = 1, ...,л, равно одному из ./ = лі+1, ..., q (или одио из bj, у=1, ..., т, равио одному из Oj, j = я-}-1, ...,/»), то G-фуикция сводится к функции меньшего порядка: р, q и п (или р, q и т) могут быть уменьшены иа единицу;
i;HS:::»*). • w
П, p, ?5:1,
яиляется такой формулой приведения, остальные формулы ей подобны. Очевидно, что замена перемеииой в интеграле (1) дает
^Mo-^HJ+r)'
Gmn иря
HO-
(8) (9)
X aI?: ^iq
\
(10)
В равенстве (10) была использована формула удвоения для Г-фуикции< Существует соответствующая формула, в которой используется теорема умножения 1.2(11) для Г-фуикции
Наиболее важной из этих формул является формула (9), поскольку оиа позволяет преобразовать G-фуикцию, для которой p>q, в функцию, где p<.q. Поэтому, ие теряя общности, можно считать P^q- Примерами дру-> гих почти очевидных соотношений являются
.......ар\ _ ЛЯІЯ /„ I aI —¦1» а».....ар\ I
b,.....V-trWrI »„ V
+«WH**, г ::::#•
(1 -O1 + *J Qgtx
WS ::::0=
"gl т, п~-
'1;
-.CT1Ia рч \
"і — 1» «и
К ...
• M 4- Qmn (XI а" • aP~v aP ~ ^ П21
Г Ib1 Ь, )' (U}
JcJ-Qma * dx wM
HS-
Ij
206 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
РЯ
"Я I r I aA _
'9 \ UJ~
^[••^¦«¦+'мo-
-reib • в Я
¦+'^'"МЙ].'14)
m^q— 1;
"С*+,(«-10].
IliS=P- 1.
5.4. Дифференциальное уравнения
Из 5.3(1) следует, что 0(х) удовлетворяет лшейному дифференциальному уравнению
[(-1)Р-^Яд:П(Ь-ву+1)-11(?-&y)]j, = 0, « = (1)
;=1 /=I "
Ясно, что любое уравнение вида 5. 2 (в) может быть сведено к этому виду путем замены переменной Порядок уравнения (1) равен max (р, q), причем из 5 3(9) счедует, что можно считать p^q. Решения уравнения (1) были изучены Мейером (Meijer, 1946)
Если peg, то у уравнения (1) только две особые точки: jc=0, оо; дг = 0 является правильной особой точкой, X = со— неправильной. Фундаментальная система q линейно независимых решений уравнения (1) в окрестности точки дг == 0 состоит из функций
0\рп іхе'Р-™-*-» «'ІIй . ' . "A, A = 1.....д. (2)
Р9 \ \ЪН, Ъ„ ... , bh_it Ъш, ... , V ,ч w
В окрестности неправильной особой точки переменную X надо рассматривать в секторе Мейер определяет два целых числа k и g так, что
