Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
I arg* +(?-m— — I" + 1)* (8)
я
I arg дг + (9 — т — rt—2A)it | <.(q — р + в) я (4)
при h=g, g + 1, ... , g + q —р — 1, где « = -5-. еслй ^r=P+1. и г= 1.
если e^js + 2. Тогда, если х лежит в секторе, определенном неравенствами (3) н "(4), р функций
Qpi (дr?1?-'»-n-«!+1^-1J* .....в*+1....., h = 1....... (5)
р q—р функций
' O^ (да«^*-»-*»« IQ, h=g,g+l.....g + q-p+l, (6)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1). «.2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 208
Если р = д, то точка jc = oo также является правильной особой точкой и, при условии (3), фундаментальная система определяется фуикциямгі (5) В этом случае jc = (—1 )P-«~n также является правильной особой точ-1 кой, однако в литературе не указано фундаментальной системы в окрестности этой точки.
Ec їй р > q, то можно использовать 5.3(9) длч^ того, чтобы свести дифференциальное уравнение к рассмотренным здесь случаям; * = 0 н JC = со ме-> нявдтся рочячи.
Во всяком случае, из равенства (1) ясно, что при любых фиксированных р, q, аи ..., ар, blt . ., bq все (р + 1)(?+ 1) функций
Q^qK—l)m +"•*¦]> 0 ^ т q, 0 ^ п <s=p, (T)
'удовлетворяют одном) и том) же дифференциальному уравнению
5.4.1. Асимптотические разложения. Будем предполагать, что P^qt результаты для p>q могут быть пол)чены с помощью формулы 5 3(9), если поменять ролями точки л: = 0 и х = со Некоторые целые значения комбинаций параметров исключаются, равно как и некоторые другие случаи« например случай, когда коэффициент главного члена асимптотического разложения равен нулю
Точка дг = 0 является особой точкой дифференциального уравнения (1), и поведение G (лг) в окрестности этой точки следует из 5 3(5). Имеем
G™(x) = 0(\x\$) при дг-0, (8)
где P'Sq и ? = min ReJft при A = I, 2, ..., т. Точка jc = oo является непра-* вильной особой точкой для уравнения (1), а потом) поведение G(x) при л:-»со имеет значительно более сложный характер Изучение этого поведения было начато Бернсом (Barnes, 1907 и друїие статьи), продолжено мно* гими авторами (среди них Мак-Роберт (MacRobert, 1937—1938)) н закончено Мейером (С S Meijer, 1946) Детальные результаты слишком сложны, чтобы излагать их здесь, и мы ограничимся лишь кратким резюме (Meijer, 1946, § 18).
Если дг —> со, то o-функцня растет, как степенная функция, если р < q И
лЗ=1, л» + п>|- + |- и Iargjc|<^m + n-|--|-jit (9) или если
^=P+ 1, k—некоторое целое H largj: — (т + п— p + 2k— 1)*|<у. - (10)
Если же при х—»оо н p<q будет
т>-f-+-f-, л = 0, |arg*|<(m--|---(И)
то (/-функция экспоненциально убывает. При тех же условиях относительно х, р и q (/-функция имеет экспоненциальный рост в следующих областях: Если q ^p + 2, то следует взять либо
(I) m + „>^-+-|_ и IargJf [>(m + n--?—-!¦)*, (12)
либо
(ii) m + + причем на argх не накладывается ограничений. 208 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [Гл. S-
Если + то пусть k—целое число, причем I arg (т + в-р + 2A) «| < В »том случае следует взять либо
<i) 1 и A5=0 или —m —я, (13;
либо
(Ii) т + л ^p, причем нет ограничений на целое число к.
Если p = q, то нз 5.3(6) следует, что функция при лг—»со имеет степенной рост.
Более полные н детальные результаты см. у Мейера (Meijer, 1946, § 18).
5.5. Ряды и интегралы
Среди различных функциональных соотношений для (7-функции наиболее важными являются ряды и интегралы. Изучено сравнительно мало рядов G-функций; число же известных интегралов весьма значительно. Здесь будет приведено лишь несколько примеров. Более детальные результаты имеются в оригинальных статьях, большей частью принадлежащих К. С. Мейеру.
5.5.1. Ряды G-функций. Первую группу разложений по (7-функцням образуют четыре теоремы умножения (Meijer, 1941b)
^"(^1^::::::?)=
(і)
г = О
|Х —1|<1, Я! ^l,
/¦«.о ,
т < q, j X — 11 < I1
T=О *
л3:1, ReX>-g-,
Ї Hi-{)r°"(x\Z::: X~r)> <4>
Г«. 0
n<p, ReX>-g.,
которые выражают <7 (Xjc) в виде бесконечных рядов по О(х). Если p<q и eissl, то ограничение (X —1)<1 в равенстве (1) может быть опущено. Аналогичное замечание применимо к (3), если я = 1, p>q.
Вторую группу рядов образуют так называемые формулы разложения (Meijer, 1946). Ohh служат для того, чтобы выразить G-функцин в виде ли- 55-] РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ 209
нейной комбинации (/-функций с теми же значениямир и q, но с другими т и п, и весьма полезны при изучении решений дифференциального уравнения 5 4(1). Например, четыре формулы разложения (Meijer, 1946, теорема 5) выражают Q™ в виде линейной комбинации ч функций вида Op1qt ц функций вида Opg'-1 и еще к— ft — v фхнкций того же типа при соответствующих ограничениях на к, I, т, п, р, q, ц, ч.
5.5.2. Интегралы, содержащие G-функции. Наиболее важными интегралами являются те, которые выражают свойства G-функций относительно интегральных преобразований. Преобразование Эйлера задается формулой
1
S^o-jrr^H ?::::0*-
о 4
-^•-»ед+л^Іі^іг)- <5>
p+q<2(m + n), |arg*| <(т+п — ^ —^jiet (6)
Если
Re?<Rea<ReftA + l, A = I,..., т; (7)
