Высшие трансцендентные функции - Бейтмен Г.
Скачать (прямая ссылка):
I Р«+11 ^WI z Г1 M ^ Y"^-1, (12)
где (д. (я) зависит от я, а, b и от Im г, если Re г > 0. Этим доказано равенство (10) (где вместо 0(| с Г"-1) при достаточно больших значениях я надо взять I Pn+11).
Но тогца (10), очевидно, верно и при я=1, 2, ..., поскольку каждый член асимптотического ряда (10) сравним с I ря+11. Более общие результаты см. Т. М. MacRobert, 1923, где равенство (10) доказано для области argoje Если о, с и z — фиксированные числа, ефО, —1, —2, ..., 0<|г|<1 и
если I A|—oo так, что —< arg bz то
РІш. А; с; г) = р(а, Ь; с; $)-[1+0(|»ГИ f (13)
я=0
Асимптотическая формула для вырожденной гипергеометрической функции большого аргумента (см. гл. 6 или Уиттекер—Ватсон, 1962, 17.3) цает
F(a, Ь; с; = (А*)"« [1 + О (| bz Г)] +
п+оа*™. (14> 89 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ [Гл. 2
Аналогично, если—< arg bzc^, то F (а, А; с; z) = [1 + 0(1 Ьг Г1)] +
+ Щ {Ьг)а С 11 +0 (| Ъг
^ Для случая, когда более чем один из параметров стремится к бесконечности, Г. Н. Ватсон (Q. N. Watson, 1918) получил следующие результаты. Пусть 5 определяется равенством г ± J^z*—1 =г—^ и пусть
1— / = — 1)е:
:f*
где верхний или нижний знаки берутся в случанх Im z JjO. Тогда для больших значений I XI
{т-тГ~Х/71в + Х' «-с+1+*; «-Й+1+2Х; 2 (1 — z)-1] = 2«+» г (о - Ь + 1 + 2Х) Г (у) *
Г(о —с + 1 + Х)Г(с — Ь + 1)
-(о+М? X
-с+- с-а-ь--
X (1-е"5) С 2(1+'"Є)С ° 41 + 0(?-1)], (16)
где I arg X I sgiB—8, 8>0, а также .F^e+ X, Ь — X; е; у—|-) =
1
X
= Г(1-й + Х)Г(С) (1 _ (1 + ^c-a-b-j
Г(І-)Г (с-й + Х)
X Г1 6)5 + е±ІП [1 + О (I X-II)], (17)
где верхний или нижний знаки берутся в случаях Imz^O и где |Х| — большое число, g = C + ft],
— \ — t»3 + S<argX<|- + t»1 — 8, 8 >0;
Oi2 = arc tg у, -W1 = arc tg 1^p, 4===0; ws=arctgl±-?, — of,= arctg-5-, i)s?0.
Здесь arc tg JC означает главную ветвь этой функции, то есть
JC ^ я
— 2 <atctgjc< 2". 2.4] ИНТЕГРАЛЫ ОТ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 89
Другие случаи, когда а, Ь, с (или их модули) велики, изучены Лайтхил-лом (М. J. Lighthill, 1947), Зейфертом (Н. Seifert, 1947) и Черри (Т. М. Cherry, 1950а, Ь). Случай, когда а = ірч, b = іч, с=1, где р, v вещественны, причем р фиксировано, а был рассмотрен Зоммерфельдом (Зоммерфельд, 1956),
2.4. Интегралы, выражающие или содержащие гипергеометрические функции
Интеграл Эйлера 2.1 (10) не может быть преобразован в себя с помощью элементарных подстановок так, чтобы стало очевидным соотношение
F (а, Ь\ с; z) — F(b, а; с; г).
Однако это соотношение элементарно вытекает из разложения в гипергео--метрический ряд. Виртингер (Wirtinger, 1902) указал тронної интеграл для функции F, который делает очевидной симметрию относительно а и b. С той же самой целью А. Эрдейи (A. Erdelyi, 1937b) вывел двойной интеграл,
Fb bt*=-3M
Г (о) Г (V) Г (с — о) Г (с — Ь) л 1 1
xjj (1 _ ty-b-1 (1 — Zf-"-1 (1 — Czzrc dt dz, (1)
который вытекает из формул 2.1(10) и 1.5(11).
Г. Бейтмен (Н. Bateraan, 1909) (см. также A. Erdelyi, 1937) доказал, что
1
Р {а' Ь; С; Z)== Г(з)Г(?-з) \ XS1 (1 ~ 1F (а' XZ) dX' &
&
Re с > Re s > 0, I arg (1 — г)\< тс.
Это утверждение может быть получено путем разложения F(a, b; s; xz) в ряд по степеням xz. почленного интегрирования и применения формул 1.5(1) и 1.5(5). ^
С помощью дробного интегрирования по частям были получены следующие обобщения интеграла '(2) (A. Erdelyi, 1939):
(
F (а, & с; X
і _ 8 X J'Па-*, b; S-. xz)F[b-s, c-s; (^L2Jdf =
_ Г (с) xf-s-i р/ <"
T(S)T(C-S) ^ (1 —xzf+b-r Г(Г~Г~0, s' хг)Х
X ^ja + b—n r — s-, с—s; dx' {3>
Комбинируя интегральные представления 2.1(10) и 2.Ц15) с линейными 1SO ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (Гл. 2
квадратическими преобразованиями гипергеометрического ряца, получаем большое число интегральных формуя. Исходя, например, из 2.1(15), заменяя г на — г и применяя формулу преобразования Меллина, получаем
где сф0, —1, —2, ... и Re s<0, Re(a + s)>0, Re(&-(-s)>0 Разлагая правую часть равенства (4) в сумм\ двух интегралов, взятых соответственно от 0 до 1 и от 1 до оо, применяя 2 1(17) к подынтегральной функции во втором интеграле и делая подстановки —г и —г-1 вместо г, получаем
-со 1
^ F (а, Ь; с; — г) dz = A""1 ^ F(а, Ь; с; 2) z-*-1 dz +
+ Ттіс-al e±i*(a + S) jF(°> + l-» + "> ')*°""** + + rla)T((c~!) <±Ы(Ь+У(Ь, 1-" + ? 1-« + *
где надо взять либо верхние, либо нижние знаки. Если теперь исключить третий интеграл путем комбинации формул с верхними н нижними знаками,
а
получаем, полагая s = w — ,
Г(с_?+®]г(і-6+|—да)
OO
г (а) у (а)п(1-с + а)а_1_
~~ Г(1 H- в — 6)Г(с — в) Li (1— Ь + а)лп\
Г (а) V (*)п(Ь)п
_ о у__
1 в
T(a)_b) j F(а, Ь; с; z) Д"®"' dz. (5)
^Г(в)Г(1
Первое равенство в (5) справедливо, если Re (в -J- Ь — с) < 1. Второе равен- 2.4] ИНТЕГРАЛЫ ОТ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 91
ство справедливо, если, кроме того, Re ± даj > О и Re (1 — й + а)>0.
Формула принимает особенно простой вид, если с — а = 1 — Ь. Имеет место равенство
