Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Решения уравнений (5) и (8) можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию. Уравнение (8) содержит две существенно независимые постоянные и, следовательно, обладает той же степенью общности, что и вырожденное гипергеометрическое уравнение 6.1 (2), но для большинства краевых задач важны лишь частные случаи, где 2ц— целое число, а постоянные ? и А вещественны. Здесь будут изучены эти случаи, а также решения уравнения (5).
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
8.2. Определения и элементарные свойства
Путей простой замены переменной уравнение 8.1 (5) можно преобразовать в
Решения уравнения (1) называют функциями параболического цилиндра или функциями Вебера — Эрмита. Их можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию. Если положить
V-I Z1
bv(*)-2 2 / 4JT ^Pjt (2)
V+1/2 J_
-2 2 . (т). (3)
2 ' ~4
v V- г (L)
ОТ " Uj / V I. ?Ч Л ' Г [(1 — v)/2] \ '2 * 2 ' "2 j
-I * ^"Lf1—^3- «Ч М) (в) (7)
%2) &3. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 123
(относительно обозначений см. 6.1 (1), 6.9 (2) и п. 6.5), то ясно, что функции
Dyl(Z), Dv (-Z), D_v_, (lz), D_v-i (—lz) (5)
удовлетворяют уравнению (1). Равенство (4) позволяет найти значения функции Dv(z) и ее производной при г = 0. Уравнение (1) имеет два линейно независимых решения, поэтому его частные решения полностью определяются своими значениями и значеннями производной прн z«=0. Отсюда вытекают следующие соотношения:
Lvnf УЯ і 1
у2я 2 D_v_, ^ + ?"^0.,.,(-/*).!,
(v+Ц яі
^e-^lDv(-z)+Tj^le 2 o-v-! Vz),
(V-H)3U
-= е^ Dv (- z) + * 2 D-V-I (- lZ), (8)
а также соотношения, которые могут быть получены из них заменой z на—г Пользуясь этими соотношениями, можно установить зависимость между любыми тремя из решений (5).
Функции параболического цилиндра являются целыми функциями от z. Если v = л — неотрицательное целое число, то из равенства (4) следует, что
г»
является многочленом; Нп(х) называют многочленом Эрмита степени п (см. гл. 10). Если V ие является целым числом, го Dv (z) и Dv (— z) линейно независимы. Для всех значений v функции Dv(z) и ?_v_, (drfz) линейно независимы. Определитель Вронского для этих решений дается формулами
Dv (*> °v (- - Dv (- z) -A Ov (2) = (10)
Яу <*) - д- О-у-1 О*) -О-у-1 (lz) J-Dv(Z) = -I exp (- (11)
Если у и г вещественны, то значения Dv (z) тоже вещественны. Если р дифференциальном уравнении 8.1 (5) а и X вещественны, то оио имеет вещественные линейно независимые решения, выражаемые через Dv Если предположить а > О, то ураинение 8.1 (5) можно преобразовать к виду
itlt d*y
dx8
-+ — р) У = 0, (1?
> ж Я.
где I ¦» . , P="--TS=-, H мы получаем, что вещественные и мнимые
(М, /45 V4a
части функции
<<> f
Vjli тт') . « 124
гл. 8. функции параболического цилиндра
«4
удовлетворяют уравнению (12). Другими решениями уравнения (12), вещественными иа вещественной оси, являются
Г[(3-2р)/4] (2/р+З)
2 4 Vn
Г[(1-2»)/2]
(i»p+3)
,-T- Vn (1 + 1)
'Уо(х).
- Уі (*).
D . С 4 J+O . (-в 4 J
. 'P-I 'P-T
D ,C-rJ + О ,(-Л"*)
ip-T /р-у
V2 УV1 +в"2яр — 1D^ ± ( хЛ) j - у, (л),
- Im J V2 е^ Vy l+e-^+іҐ D^ [xfi] J -у, (х),
где у' — arg Г ^ + Jpj; Уо в Уі образуют фундаментальную систему в точке
х = 0:
Уо(0) = 1, У!(0)-? Уо(0)=0, у[(0) = 1;
поведение у, и у3 в окрестности точки = описывается так: яр
У» - у^ в 2 KVl + e-^ + l sin (JC)] [1 + 0 С*-')}, - - яр
У» - У? * 2 К/і + «_2яр-1 cos [g (X)] [1 + 0 (ж-')].
где
Мы имеем также
У»(— х)=*Уг(*)-
S. С. Р. Miller использовал ys и уа Для вычисления таблиц значений; уд яу% были исследованы в работах: Wells, Spence (1945) и Darwin (1949). Из (2) и 6.6(6), 6.6(7) получаем
Dv+, (z) -Z D4 (z)+ V (z) - 0, (14)
а из 6.6 (10) находим
т Г — 1 —
J^r L 4 Dv (Z)J _ (-1)" (- v)m в 4 Dv_m (г), (1?
L(г)] - (-1Г (г), ш-1, 2, 3,... (19 8.3| 8.3. интегральные представления и интегралы 125
Далее, из (15), (16) и формулы Тейлора вытекает, что
Ъсу+f OO т
т=0 fcry+У со
4 2(1)*"^-*^ (17)
/я=»0
Это равенство при v О дает производящую функцию для Dn (г) (то есть для многочленов Эрмнта, см. (9) и гл. 10):
X1-Aztоо в" 4 (г)- <18>
п=0
Если V — отрицательное целое число, to Dv (г) можно выразить через функцию Гаусса
г» /г»
ml
а если j, то через модифицированную функцию Бесселя третьего
рода
D ,М-/у*,(т)' (2°)
2 4
8.3. Интегральные представлення и интегралы
Интегральные представления функций параболического цилиндра Dv(Z).
Л _U г -IzL
Dy(Z)--f—r-e * І в 1 t 2 (1 + 0 2 dt, (I)
rH) J
Rev < O1 I arg г K -5.,
V-I OO
2 -ІГ -(M-V) V
TW=Wet" 4 j 3 О+ »
Re V < 1, |arg*|<2, 126
гл. 8. функции параболического цилиндра 18.5.1
Г— JL г --
Dv(Z) = Y її'4 J «~2 cos (z*-^L) Л, Re V > — 1,
в 00
d— (YVi=& т?г J «р^ *
о
Rev > О,
vI
Dv (Z) - г7 ~ 4 у-7е~ 4 (2я/Гг X
xI (т)*
, Зя , 1 1 3 |arg*|<-?-, v^b __.....
GD
. —і- J (ch Ov (sh Ov"1 exp -j- sh dt,
