Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
(29)
J і * 1Ju (at) cos (W) dt =» n_1 cos arcsln j j при b < a,
U
Ii-V cos (b + Vbi-O1Yv' при b > a,
Re (i > 0,
co
!J Jtl (at) cos (W) dt — cos j^n arcsln ) j при b<a,
° (30)
sin
= _ JJ (ь + Vbi- при b> a,
у b2 — a2
Re p, > — I,
Г I b sin [x arcsin
Jvl (at) sin (W) dt =-L-i/ 'JLu. ПрИ ь <a,
(3D
со, m
a* , X ' (Ь + УЬ^-дЬ)-* при b > a, Vb2 — a2
Re^ > —2. $І4|Ч . 7.14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 107
Относительно соответствующих интегралов для функции Неймана см. Nielsen (1904, стр. 158).
-J(V-Ps) j* V11 (at) Jv (at) ІІ = sln [(v - р) -у].
(32)
Шг+ц
T(JiH-V)
. ^l-.,. • - о*--j---р—;-п
j aV | + v + p Г р + | Г v + l
Re (v + p) > О,
, (33) Re (v -M > 0,
Г (v - ц) J Jli (at) Jv (bt)t*~v+1 dt =
.2»-v+ia4-462-at)V~'l~l при b>a, »0 при b<a,
Re V > Re p > — 1.
Интегралы, родственные интегралу Вебера — Шаф-хей глина.
OO
ap+'r^+i)«1'+1-^ J Kll(Ot)iv(U)t~»dt-
= ^vr (і-PH-P + V) r ^-p-p+vj x X^C^ft^, I-P-PH-Viv^1 (85)
Re(v — PH-1±P)>0, a>t,
OO
2Р+2Г (1 -p) j" Ktl (at) Kv (?t) Гр dt -
»+v-n-p. I-Sfix
(36)
Re(a + ?)>0, Re(p±p± v + l)>Q
OO
ячг
2J
Yll (at) Jv (M) t~pdt-sln W(V-^P-P) x
X j Kvi(Oi) Iv(M)Tp dt, a>b. Re (v — P H-1 ± p) > 0, (37) 108 гл. 7. функции бесселя. формулы (71.
14.1
оо
I
Yv(bt)J? (at) Г* dt
- J [»V(at)(W) + cos + * + Кп ((U) Kv (W)j t-Pdt
о
a> b, Re (p -+- V —1*> > — 1, Re p > — 1, (38)
OO
J Jv (?O K11 (crf) Г»+*+1 dt - (2?)v (2af Г (v + |i +1) (a* + ?') -»-H- \ о
Re(v+1) > I Re Re a > | Im ? |. (39)
Относительно других комбинаций см. Dlxon и Ferrat (1930).
Интегралы, содержащие произведение трех и более функций Бесселя.
со
J P-1Jvl (at) Jv (bt) Jx (et) dt (40)
о
(Watson, 1934),
OO
J IP-1 J11 (at) Jv (bt) { ? gj} dt, (41)
о
CO
(Bailey, 1935a, 1936), °
J (-0 (42)
O
OO
J tP-%(at) Kv (bt) Kp(Ct) dt (43)
J Uv (Ox)]"2 Uv (Ьх)? *1_2v dx —
«_^-1T(V)_.LL, (44)
2я6Г (v + 1/2) Г (2v + 1/2) * 1 \ 2 ' + 2 ' IrJ'
O < Re v,
OS
J Jv (ax) Yv (ax) Jv (bx) Yv (bx) jc2v+1 dx —
¦(т-)г(й+Ї) ^ , ;
a2v^-2-4v , 2яГ|
— j < Re V < - j
(относительно других формул см. Nicholson, 1920, 1927; Tltchmarsh, 1А27І Mitra, 1933; Mayr, 1933; Sinha, 1943). 7.14.11 7J4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 109
Интегралы типа Сонина—Гегенбауэра.
ос
J Jtl (M) KviaVFT?) Vі+ JeTve f»1+1 dt -
_ ^e-V*-v+! (e2 + , (г V7TP), (46)
Ren>—1, Rez>ft
OO
J Уд (M) Kv (ayt*-y>) (Г - у')-"* t»+ldt-0 , (47)
-1 (v_,,") л*-V+^G*2+^v-*"1"2 н*^, (у УТ+F),
Re V < 1, Re |л > —1, arg Vt3 — у» — 0. если t > yt
1 _ arg (<» —уУ — да, если / < у,
где <7 "" "2 и —v/2, соответственно,
OO
O
нрИ
2tn~ a~vjf1+M,~ vO^ — ea)<v-M'_ 1>/2 Kv-ц- і (jf при a<b,
? __Re V >Ae(і > —і, jit>Ot
f h®(a VtrT^) (t1 + x2)-4*t2^1 dt-
- 'ж' T (ц + 1) «5Lw., («X Re > Re (і > — 1,
Г Kv(вУ *' + *»)(*2 + *JTv/2 ^+1 dt — и >
-Л"»" V¦»"»Г Oi+I)(«) а>0, Reц > —1, (SO)
OO
J Уд (M) а» + 1 dt - (A)V"' v-^v-^ ^ t (51)
Re ^2* — -i-j > ReЦ > —1, Rez>(H
J K^r7- ,di- у-аТ+6Ї arSK^—y7—¦. если/ < у, (52)
_ он
I о' + й» г
+^""2J
U
_ 00
.-Jyl О' + Р
" ' COS (60 K0 (в У/* — у1) dt
J cos(W)Jif(й У у2-*2)A.
(53) 110 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ (71. 14.1
(Относительно аналогичных формул см. Ватсон, 1949, стр. 455—460; Mayr, 1932; Oupta, 1943b.)
* 0J у2-а*)т+і (t* + y*)№
X [cos (Me^I)7v+ sln( Kv(e<)]A. !
_ лі ( d Г „-г ^(^Д' + У2) „(1) 1 '
Ж IwJ [" (*> + уГ<2 " ( )J' (54)
л>», Re(±v)<Rep<2m+4 + Re|i, Re(Za) <0, /я — 0, 1,2,..., Г Г ^(P-V)A , , л
j (p+py^v+^ [coaI-Vj-Jyv^) +
1 ml Urf?j
Re (± v) < Rep < 2m+4 +Re Ц, Re?>0, «=-0, 1, 2,..., *v+ 1J11 (b Vt2 + y2 ) „ Ju (b Vy2-V2)
(^yTTF) 1
(y3 —pa)»V2 *»<*> » (55)
OO 1
л>», Re? > 0, —l<Rev<2+Re|i,
OO
Г /»-(1+1
J "F+F yH (^) yV (^) - ?V_tl 'n (»?) <«». (57)
OO
J
л>*, ReV> —1, Re(V-P)<2, Re?>Ol
л>0, Re ? > 0, —l<Rev<|-, (58)
J FW^r 2і* Г (ц+1) (59>
—1 <Rev<2Ren+-|.1 Относительно аналогичных интегралов см. Ватсон (1949, стр. 476—479). $і4|ч . 7.14. интегральные формулы 111
Произведения функций Бесселя.
00 V+|l
*>«,„>- J .-»-«<
—OO
hzt + xi + iZx&Ztfldt, Г IX-XI-1H^e
J 'і Х-хе1в I Icos VJl Vv (•) - sin vn Kv+(1 (W)l dQ -
XKv+цL(22 + ** + 2Z*ch 2*) 2 J«% ReZ>0, Rez >0, (60) 2я J^(X) yv (je) =
1 .-«K^
У+Ц
— 2 sin Vrt J e"v< 2 [со» V3t Лі+v (Ф)—slnvn K„+v (Ф)] dt, (61)
w = Yxi+X» — 2xX cos I Ф = +xt + 2Xxch t
о
A > л: > 0, Re (p — v) < w — YX2+ x* — IxX cos 0,
(Dixon и Ferrar, 1933, стр. 193, 194),
^W^vW + ^(2) Yv(Z)-
= 4it"» J K^V(2*sht) 'cos vn + «-0i-vWcos їхя] dt, (62)
u
Rez >0, lRe(v+p)|<l,
Jyi(Z) Jv (z) +K11 (Z)Kv (z)-
. OO
-4я " > J Ktl-V (2z sh /) {e(n+»> < + e-(f+v>' cos [(p -v)<]} dt, (63) 0
Re*>a IRe(V-P)Kl,
OO
Уц (дг) Jv (x) — Kll (л:) Kv(*)-4л~< j" K^v(2*ch 0 ch [(p — v) t\ dt, (64)
о
x>0,
OO
Jtt (X) Kv (JC)+Jv (X) Y11 (X) - -4Я-" f Уц+„ (2* ch t) ch [(p - v) t] dt, (65)
