Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
/со
SafyvG*)=.. J Г(— ?)[Г(V + s + I)]""1 (y)V+ 'as, х>0, Rev>0, (36)
-Гоо
У? Я® (z)--в1 {*-VJt) cos (vji) (2*)v X
too
X J Г (- s) Г (- 2v - s) Г (v -H + -і) (- 2izy ds-, (37)
-too
Зя
Iarg(— tz)\ < — , 2v не является нечетным целым числом. (z) = e-'(,-w) сое (Va) (2zf X
loa
X frhj)r(-2v-s)r(v+j+jjwrfs; (38)
— Гоо
Iarg (iz) I < 2v не является нечетным целым числом.
2яЧКу (г) - -j/^j e~z cos (vn) X
і 00
(39)
— і OO
I arg 2 I < -g-, Sv не является нечетным целым числом.
Интегралы, выражаемые череа функции, связанные с функциями 1Bесселя. я
7
j* cos (z cos q>) cos (vq>) dip « я ^4 cos (тр)] t Jv (*) +J-vWl*
- - V sin S—і, V W - я [4 sin ^)]IEv (г) -E_v (г)]. (40) IJJl 7.18. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 97
Я
7
J Sln (г cos ??) cos (vq>) d(p — я ^4 sin (-^r)] I Jv (*) — J-v (»)1 «¦
о
-cos(-^)se,w(«)--n[4cos^)] IEv (*)+E _,(*)], (41)
я
J cos (г sin ф) cos (Уф) dtp = —v sin (vn) s w (г), (42)
)
я
J cos (z sin ф) sin (Уф) Ap -»— v (1 — cos *я) s _t, w (*), (43)
о
я
J Sln (г sin ф) sin (уф) dip — Sln (vn) s0, v (*). (44)
j
л
j sin (г sin ф) cos (Уф) dtp = (1+ cos vn) s0, v (*)• (45)
0
(X
J ,«-«л» (г) - я En (z) - як, (»XI, (46)
° я — 0, l, 2,.... Kez>Ol
OP
j" dt-L (_1)»jSn (г) + Я Ea (z) + я(г)],
л = 0, 1, 2,..., Re z > О,
^ил-^?=^; j;
Re г > Ol -
W*) = ^' J ,,-'V.(^=Jil- I=J=Is f;
U Re ^ > Ot
А
4«. V («) - / ' ch <*>dt' (50)
OO
v S0t v (г) - г J e"zah' sh (vi) ch / Л, (51)
о
OO
Si, V (г) - Z Jg-'thtCh (Vf)Chtdt, (52)
и
в формулах (50) — (52) Re z > а 4 Г. Беашвв, А. Эрдеа»
(47)
(48)
(49) 98 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ. ФОРМУЛЫ
7.13. Асимптотические разложения 7.13.1. Большое значение переменного.
ГМ-1
(7.18.1
<*> - Vlbz '' t4*-2VA-*V4 S (Vl m> + 0( I г |-Л1)
LmsO
—я < arg г < 2л,
.__гм-1
fl^wту -SJe~,(4"2v""")/4 S(v'^WH-Odii-")
.m=0
(1)
(2)
—2я < arg г < «.
Относительно оценки Af-ro остаточного члена для комплексных v
я Зя Зя ^ я
пря —у < arg г < -j- и при —< arg* <
см. Ватсон (1949, стр 246). Эти результаты были распространены на области — я < arg z < 2я н — 2я < arg г < я Мейером (Meljer, 1932, стр. 656, 852, 948, 1079) Относительно асимптотического поведения функций, выражаемых в виде бесконечных рядов функций Ганкеля, см Melxner (1949).
__г M-I
/ 9 I /4.2 — 9vit—я\
А
I Lzn=O J
M-I
— sin ^ (~l)m (v,2m-hl) (2г)-2п,-1 + 0(| ^Г™"1) 1(3)
. те=0
„ . . , f 2 , rtz—2vji—я\
^w-V5 slnI—4—J
-a^"1)] J.
— я < arg z < я,
(-1)ж(у.2ж)(а*)-,ж+0(|*ГМІ) +
Г Nl-X
-m=0
ГЖ-1
LmsO
. (4)
— я < arg г < я.
Относительно формулы для Af-ro остаточного члена см. Ватсои (1949, стр. 229, 233) и з случае комплексного v— Meljer (1932), ссылка выше. T.1UI ТЛЗ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Дальнейшие формулы имеются в работе Burnett (1929).
ff
M*)"
Vr?I ^ f S (~l)m (v-m) (2x)~m+*л>
І Ln-O
Г Af-I
+ Ie
-ж+Ш
J](v, m) p*rm + 0(\z\-M)
.тшО
. (5)
it Зл
—-?<arg*< -у,
ТШ
cos (nv)
m-i
/л=0
Xtj- Jrh '+SOQzr*)
Зя ^ ^ я
--J- <irgz<-^,
(6)
ГМ-1
Kv(Z)-Yв_г
Lni=O
(7)
Зя Зя
В этих формулах положено 1
(V, *) - -ga^n- (4v2 — 1) (4v*-3*).. .[4V3 —(2m —І)2]:
7.13.2. Большое значение порядка. 2яIp (л:) = х ^ exp {ур* + х*-р Arsh X
(т+у+«)
T^ + v-*)'
X
./л=0
VrFT**
ГЖ-1 __1
JJ (—2)'" а* Г (« +У(р*+х*Гт + 1, Р, X > 0,
о-1' ^-1-+4-(1+-?)"1'
з 77 Л , Jf3Ч-1 і 385 / je*\-2
•»"Ш"57511+TrJ +W^ + TrJ
W
МО
гл. 7. функции весселя. формулы
17.13.3
Относительно других разложений Ip(X) см. Lehmer (1944): Montroll (1946). <Кр (¦*) - „ 1 ехр (-Ур2 + х>+р Arsh
К 4 (/»»-f ж«)
M-I
^ 2»em Г (и +1) VV + *Jrm + OU-jmJ , (10)
т=0 J
р, х>0, ат определено в (9), ^HftX= , V~2 -exp (/1^rrp+/parcsln?) exp [-f (, + -і)] X
M-I
2 2т6тГ (« + і) (- l)m V(Xi-Pi)-" + 0(x~M)
т=0
х>р>0,
6о=1. ^1 = 1--^-(1--^) •
a« 3 77 A- jtTlJ- 385 h jrT8
°а 128" 576Г 3456 \ ~рї) ""
я Hf (х)=-і 4 ^ exp ( - VTn^ci + P Arch /(As-JCa)
X
M-I
р > X > 0, Ьт определено в (12),
т=0
/2
2я Jp(x) — -f-
V(Pi-Xs)
ехр Jta - р Arsh - J) X
ГМ-1
2 2-^(.+1)/(1^-^)- + 0(*-*)
яі"0
> х > О, Ьт определено B (12),
co
ПН\« W--4 ^ е2(т+1)яі/35»(«) Sln[(« +-Dfjx
ш=O
(11)
(12)
(13)
(14)
(15) 7J&3)
tjl асимптотические разложения
«0 (Ut)-I. в, (Wf)- в*, =
B3 (еде) = j (EJf)* — М, Ba (EJf) = L (EJf)4 — L (EJf)І 4-
Относительно Bt, B1, B3 см. Alrey (1916, стр. 520). , Чисто мнимый порядок.
Jip W = 4 exP [iVFT^-tP Arsh ?_1 inj X
V(P2-JCs)
2л
Xepnt2
гм-\
Kip(X)
1
/4 (х*-р>) гм-1
т — і _
2 (2OW (««+I) VV+^rw+ OOc-*)
. т-О
р, X >0, ат определено » (9),
exp Yxt-P2 — рarcsinX
X
Kif(X)
м — 1 I
2 (-IWei Г (в. + у) ^ - Р*Гт + 0(х~м) I.
m=0 J
X > р > 0, определено в (12),
