Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Y1
I0 = O
Вырожденная [Fi)-Zz=O
Здесь
¦ z +F3[t)z = Q, (F0)
где F3(t) = F(x) = и~3І0(А), (х = x(t) — обращение интеграла t = = J u(x)dx).
Выясним связь между каноническими формами Альфана и Форсайта. Для п = 3 имеем соответственно две формы, причем вырожденные формы (i?i) и [F1) совпадают. Однако построение (F0) требует обязательного интегрирования уравнения (2.14), тогда как для построения (H0) требуются рациональные операции и дифференцирование.
Заметим также, что уравнения 3-го порядка всегда можно брать в силу теоремы 1 и выражения для приведенной формы (1) в одном из следующих видов:
у"' + ЪА2у' + (|а'2 + а)у = 0, a = const ф 0, у'" + ЪА2у' + ^А'2у = 0.
158
Глава З
3.4. Абсолютные инварианты Альфана и интегрируемость
Абсолютные инварианты (канонические формы) Альфана позволяют весьма эффективно исследовать вопрос об интегрируемости. Прежде всего отметим случай, когда абсолютные инварианты hj~ = const. Тогда исходное уравнение является приводимым (см. подробнее об этом п. 8). Однако не только в этом случае получаются интегрируемые уравнения. Замечательные классы возникают, когда между абсолютными инвариантами существуют определенные алгебраические соотношения.
Пусть, например, для п = 3 основная каноническая форма (Hq) представлена в виде
у"' + 3h2(x)y' + (^W2 + a)y = 0. (3)
Первый и второй абсолютные инварианты обозначим соответственно через h = 3h2(x) и / = 3h'2(x).
Теорема 3 (Halphen [319]). Для того чтобы (3) было интегрируемым в эллиптических функциях, достаточно, чтобы
h3 = pi2 + q, P=^(I- гг2), п Є Z7 п ф 0(mod3), q = const. (4)
При этом уравнение (3) принимает вид
у"' + (1 - п2)р(х)у' + (^-р'(х) + а) г/ = 0. (5)
При п = 2 уравнение (5) уже рассмотрено (см. п. 1.11.1), как уравнение
у"' - Зр(х)у' - (^p'(х) +CX^Jy = O. (6)
Коэффициенты уравнения (6) параметризуют эллиптическую кривую, которую, в отличие от (4), представим в плоскости (h71) в виде уравнения
I2 + ^h3 -3g2h + 9g3 = 0, (7)
допускающем различные вырожденные случаи. Параметризация h = —Зр, I = —Зр' кривой (7) порождает нелинейное автономное уравнение Ы" + + Ahh' = 0, принадлежащее к типу СКдФ, которое (лемма 1.7.1) является условием коммутативности пары операторов 2-го и 3-го порядков.
Предложение 2 (Беркович [40]). Для того чтобы пара операторов L7m (см. формулы (1.7.3)) была коммутативна, необходимо и достаточно, чтобы оператор m 3-го порядка был представлен в канонической форме, относительный инвариант Iq = const, а абсолютные инварианты были связаны соотношением (7).
4. Условия эквивалентности и канонические формы ... 159
4. Условия эквивалентности и канонические формы линейных уравнений 4-го порядка
4.1. Полуинварианты и полуканонические формы
Пусть даны уравнения
Ly = ylv + Аа1У'" + 6а2у" + Аа3у' + а4у = 0, ак Є C4"fe(i), (1)
Mz = z(4) + 46i 'z' +6?-? + Ab3Z + b4z = 0, bk Є C4-fe(j). (2)
Для построения полуинвариантов и полуканонических форм воспользуемся специальными случаями преобразования КЛ:
у = ехр(— J a\dx)z, dt = dx; у = z, (ft = ехр(—| j a\dx)dx.
Коэффициенты полуканонических форм представлены в таблице 12. _Таблица 12
к
Afe
Afe
Afe
1
Ai = 0
Ai = О
Ai = 0
2
а2 = <12 - а\ - а[
T 4 , 22 a A2 = «2 - g«i - 2уа(
а2 = Агехр(^ J aidx)
3
a3 = аз + 2а^ — За\а2 — а"
a3 = а3 - аіа2-
1 , 1„,1O3 ~3~аіаі ~ б"1 27аі
a3 = a3 ехр(2 J aidx)
4
a4 = а4 — За| + &а\а2 —
—4<21<2з + &а\а'х — Qa2^1 + +За? - а\"
a4 = а4
a4 = a4 ехр(Ц J aidx)
Коэффициенты Ак являются абсолютными полуинвариантами уравнения (1) относительно преобразования у = \(x)z. А коэффициенты Ак и Ак являются соответственно абсолютными и относительными полуинвариантами уравнения (1) относительно преобразования dt = fi(x)dx.
Назовем 1-й и 2-й полуканоническими формами (1) соответственно следующие уравнения:
zlv + QA2z" + AA3z' + AiZ = О, ylv(t) + QA2y"(t) + AA3y'(t) + A4(t)y = 0.
160
Глава З
При решении задачи эквивалентности будем вместо (1) и (2) рассматривать их первые полуканонические формы:
ут + 6А2у" + 4А3у' + А4у = 0, (Iі)
6B2z + AB3Z+ B4Z = 0, Вк = Bk{t), k = 2~l, (2і)
z
(iv)
а вместо (1.4) — преобразование
_з
у = \и\ 2z, dt = udx, (3)
_з
где v = u 2 Є Cf, и Є Cf, Uv ф 0, X G I.
4.2. Самосопряженное (итерированное) уравнение 4-го порядка
Оно имеет вид
L4y = у™ + 6А2у" + 6А'2у' + (JU2' + |Ц2)у = 0, (4)
и допускает общее решение у = CiY13 + C2Y2Y2 + C3YiY2 + C4Y2 , где сі, с2, с3, C4- произвольные постоянные, a Yi, Y2 образуют базис ассоциированного с (4) уравнения
L2Y ее y" + ^A2Y = 0. (5)
Предложение 1. Уравнения (4) и (5) допускают факторизации
L4y = (D + a)(D + ^a)(D - ^a)(D - a)y = 0,
L2Y = (D + |q)(TJ -|a)y = o,
где а удовлетворяет как уравнению Риккати (классическому)
a' + |a2 + IA2 = 0, (6)
м обобщенным уравнениям Риккати 1-го рода 2-го и 3-го порядков соответственно (см. Беркович [50], с. 57):
