Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
ВОЛН 0 ^ И ^ 1 С ВОЛНОВОЙ СКОРОСТЬЮ С ^ Cmin = 2\/kD. 4 см. Рис. 11 и 12
416
Примечания к гл. 7
3. Границы применимости уравнения КПП. Работа [152] имела замечательные продолжения и в другом аспекте. Оказалось, что аналогичные вопросы возникают и в ряде задач математической физики, в частности, в задачах теории горения (Зельдович [129], Зельдович, Баренблатт, Либрович, Махвиладзе [130], Зельдович и Компанеец [131], Канель [140]), в процессах броуновского движения и в теории ядерных реакторов (см., например, МсКеап [367], Canosa [288]). Важные применения имеют место также в динамике популяций (Aronson, Weinberger [244], Марри [174], Свирежев [214], Свирежев, Гагаури, Разжевайкин [215]), в автоволновых процессах в биофизике (Яхно [239], Васильев, Романовский, Яхно [95]), при исследовании проблем нелинейной диффузии (File [306, 307]) и т. д. Таким образом, оказалось, что весьма разнообразные задачи естествознания и техники аналогичны задачам популяционной генетики. В связи со столь широкими границами применимости уравнение КПП по праву считается одним из важнейших уравнений нелинейной математической физики.
Была установлена внутренняя связь между стационарными задачами, имеющими решения вида u(t,x) = f(x — et) с автомодельными задачами, имеющими решения вида u(t, х) = tnf(x/tm) (Баренблатт, Зельдович [12]). Процедура отыскания параметра скорости с имеет много общего с процедурой отыскания показателей та и гг. В уравнении (1) перейдем к новым переменным ? = ех, т = е*. Тогда
т. е. примет форму автомодельных решений. Значение А = Ao выделяется дополнительно требованием, чтобы автомодельное решение (10) представляло собою асимптотику при t —> оо некоторого класса решений неавтомодельной задачи Коши.
4. О точных решениях уравнения КПП и КППФ. В работе (Маслов, Данилов, Волосов [178]) для нахождения инвариантных решений уравнения КПП применен т. н. прямой метод Хироты5.
В работе (Ablowitz, Zeppetella [241], 1979 г.) показано, что бегущие волны для уравнения Фишера (8) выражаются через элементарные функции для специальной скорости волны с = ±5/\/б- В этом случае имеем уравнение т. н. типа Пенлеве, т. е. решения его допускают только полюсы в качестве подвижных особенностей. Для этой скорости волны находятся как
'Однако можно согласиться со следующей его оценкой, данной в книге (Додд, Эйлбек, Гиббон, Моррис [111]): «... это исключительно мощный инструмент: слово метод в данном случае не совсем подходит, потому что при использовании он очень сильно опирается на опытность и интуицию исследователя». А в книге (Кащеев [144]) метод Хироты назван эвристическим.
(10)
Примечания к гл. 7
417
общее решение, так и частное решение соответствующего полулинейного уравнения. В [241] найдено первое известное явное решение для бегущей волны путем подстановки и = u(z) = и(х — et) в (8):
u"(z) + си (z) + w(l - и) = 0.
При этом получена формула (1.23). Английский оригинал книги (Абло-виц, Сигур [1], 1981 г. ) также указывает только на него. Русский перевод [1] (1987 г.) не содержит каких-либо комментариев на этот счет. В работе (Данилов, Субочев [ПО] (1987 г.) приводились явные решения (1.23) и при этом отмечалось, что о других явных решениях ничего не известно. А. Н. Колмогоров в комментарии «A" работе об уравнении диффузии», т.е. к работе [152] (см. Баренблатт [13], с. 416), писал: «Б биологической литературе работа не вызвала особенно широкого отклика. Более актуальной она оказалась во многих разделах физики, о чем подробно рассказано в комментарии Г. И. Баренблатта». Это утверждение в части, касающейся биолого-математической литературы, не совсем верно (по-видимому, А.Н.Колмогорову остались неизвестными такие работы, как Марри [174] и Ablowitz, Zeppetella [241]). Кстати, английский оригинал работы [174] вышел в 1977 г., т. е. до выхода в свет [241], но и в русский перевод [174] (1983 г.) не внесена соответствующая ссылка. Комментарий А. И. Вольперта [100] (1987 г.) также не содержит ссылки на [241], как и книга Свире-жева [214], посвященная математическим моделям в экологии (1987 г.). В [178] имеется соответствующая ссылка. Таким образом, комплексные решения (1.231) уравнения (1.18), а также решения (1.242) уравнения (1.241) и решения (1.244) уравнения (1.243) впервые были получены автором.
5. Некоторые точные решения эволюционных уравнений. Преобразования между квазилинейными параболическими уравнениями применялись в (Englar [300]). А именно в этой работе делалось преобразование между решениями типа бегущих волн и(х, t) = U(x — et) и v(x, t) = V(x — — et) уравнений
Щ = ихх + f(u) (11)
и
vt = (D{v)vx)x+g{v) (12)
соответственно6. Предполагалось, что функции f(u) и q(v) таковы, что /(0)=ff(0) = /(l)=5(l) = 0.
Рассмотрим интегрируемые случаи.
Случай 1. f(u) = ^и2(1 — и). Уравнение Huxley-Hodgkin (с множителем 1/2).
^Уравнение (11) называют также уравнением Тьюринга.
418
Примечания к гл. 7
Найдем нашим методом точное решение. Нетрудно установить, что в этом случае скорость волны с = 1/2, а соответствующее полулинейное уравнение имеет вид
