Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
CpU 1 СІЧ . 1 2/-I ч, п
^ + 2^ + 2И (1-«)=0' допускает факторизацию (D + u)(D +1 — = Оиимеет точное решение
U(O = (і + ехра/гог1, где ? = ж - \t.
Случай 2. -D(u) = v, g(v) = ^v(I — v). Уравнение
Vt = (vvx)x + ^v(I - v)
имеет решение типа бегущей волны v(x — et) = w(?), удовлетворяющее эталонному ОДУ
d?v , \ tdv\i , с dv , \ іл \ п ^ + «(«} +^ + 2^1-^ = °-
Строя по методу точной линеаризации подстановку V = v, dz = \dS„ приведем эталонное уравнение к полулинейному виду
Какивслучае 1,получимс = 1/2, откуда найдем V(z) = (l+exp(l/2z))_1, а т. к. в силу линеаризующей подстановки имеем exp(l/2z) = ехр(1/2?) х
(1 — ехр(1/2?))-1, то окончательно получим v(Q = 1 — ехр(^?).
Случай 3: D(v) = vn, g(v) = v(l — v) — рассматривался в работах (Aronson, Weinberger [244], Atkinson, Reuter, Ridler-Rowe [250]).
Случай 4: D(v) = vn7 g(v) = v(l — v)(v — a) — изучался в [244].
Случай 5. D(v) = vn, g(v) = |um(l —и) — исследовался в (Neuman W.
[374]).
Примечания к гл. 7
419
6. Об автомодельных решениях и линеаризации.
Решение (3.4) уравнения (3.3), как указано в обзоре (Галактионов, Дородницын, Еленин, Курдюмов, Самарский [103]), впервые было найдено в работе (Самарский, Змитренко, Курдюмов, Михайлов [211]). Графики решений (3.21), (3.22) уравнения (3.10) представлены на рис. 13 и 14.
В статье7 ищутся решения параболических уравнений вида
u(x,t) = F[c0(t) + Cl(t)e(x)}, (13)
где F — достаточно гладкая функция, а выбор функции в осуществляется на основе «нелинейного разделения переменных» (термин, введенный позднее П. Олвером8. Решения вида (13) рассматривались и другими математиками (см., например, Воробьев9).
Как уже отмечалось в начале гл. 7, сборником основополагающих работ по изучению режимов с обострением является [208], в котором в историческом аспекте прослежена эволюция соответствующей математической идеи. В. А. Галактионов в комментарии к помещенной в [208] цитированной статьи Галактионова-Посашкова констатирует: «... вся математическая теория локализации теплопроводности и горения возникла из двух решений уравнения нелинейной теплопроводности: это решение A.A. Самарского-И.М. Соболя (статья 1963 г.)10 и решение, построенное в статье 1976 г.» [211].
В цитированной статье Самарского - Соболя для уравнения
Щ = Ox(KU17Ux) (14)
рассматривается решение типа бегущей волны
и = [<тск_1(сі + Xi — х)]1^, X ^ Xi + et; и = 0, х\ + et ^ х. (15)
Вот как решение (15) может быть получено, использовав метод точной линеаризации. Введем новую переменную: т = ct + х\ — х. Уравнение (14) преобразуется в ОДУ
и" + |и'2 - %и-аи' = 0. (') = сі/сіт (16)
'Галактионов В. А., Посашков С. А. О новых точных решениях параболических уравнений с квадратичными нелинейностями. ЖВМ и МФ, 1989, 24, N 4.
801ver P. Symmetry and explicit solutions of partial differential equations. Appl. Numer. Math., 1992, 10, 307-324.
9Vorob'ev E.M. Weak and partial symmetries of nonlinear PDE in two independent variables. Nonlinear Math. Physics, 1996, 3, N 3-4, 330-335.
'"Самарский А. А., Соболь И. M. Примеры численного расчета температурных волн. ЖВМ иМФ, 1963, 3, N4.
420
Примечания к гл. 7
(16) относится к классу линеаризуемых уравнений (см. предложение 1.2 и теорему 5.2.2). Здесь f(u) = а/и, ip(u) = и~а, bi = —с/к, bo = 0. Преобразованием z = и, ds = и~аат уравнение (16) приводится к виду z"(s) — c/kz'(s) = 0. Решение полученного линейного уравнения возьмем в виде z(s) = exp(cre_1s). Тогда замена независимой переменной примет выражение ds = ехр(—acK~1s)dr. В результате мы получим искомое решение (15) вида бегущей волны.
В работе Самарского-Соболя для уравнения (14) находится также автомодельное решение
а (х і — X
|2
I/o-
при X ^ Xi; и = 0, при Xi ^ х. (17)
2к(а + 2)(с - t) Подстановкой и = и1/" уравнение (14) сводится к виду
Vt = KVVXX + Ka-1Vl. (18)
Будем искать решение уравнения (18) в виде v = f(x)g(t). Нелинейное разделение переменных приводит к уравнению
В результате мы можем получить f(x) = a(xi — ж)2, g(t) = [2к(а + 2)(с — — і)]-1, откуда следует формула (17).
В статье [211] к уравнению (3.10), описывающему т.н. S-режжм, применена подстановка вида z = ya+1, позволившая избавиться от нелинейности, содержащей квадрат производной искомой функции:
_(ст + 1)г. (ig)
Для уравнения (19) нетрудно найти элементарное решение и, следовательно, получить и элементарное решение для (3.10).
Отметим, что наиболее полное решение уравнения (3.10) для всех значений параметра а построено в предложении 3.1.
Заметим, что автомодельные решения квазилинейных уравнений параболического типа были использованы при синергетическом подходе к исследованию демографических процессов (см. Белавин, Капица, Курдюмов [19], Капица Курдюмов, Малинецкий [141]).
Примечания к гл. 7
421
Рис. 11
Рис. 12
422
Примечания к гл. 7
Рис. 13
«На задачи, заданные нам жизнью, ответы не даются и в конце.»
Эмиль Кроткий
